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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Fr 10.10.2008 | | Autor: | fecit |
| Aufgabe | Ist die Menge A ein Vektorraum?
[mm] A=(\vektor{0 \\ 0}) [/mm] |
Also um das zu Überprüfen habe ich das Kommutativ-Gesetz, Assoziativgesetz d. Addition und Multiplikation, Nullvektor, additive Inverse, Distributiv ......... angewendet.
[mm] (\alpha+\beta)*\vektor{x_1 \\ 0} [/mm] = [mm] \alpha*\vektor{x_1 \\ 0} +\beta*\vektor{x_1 \\ 0}
[/mm]
[mm] (\alpha+\beta)*\vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Meine Frage: Ist meine Annahme Richtig das der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] hier das Distributiv-Gesetz nicht erfüllt und somit kein Vektorraum ist! Würde es als Beweis reichen nur zu zeigen das das Distributiv-Gesetz nicht gilt um zu zeigen das der Vektor kein Vektorraum ist oder müssen alle 8 überprüft werden!
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fecit,
> Ist die Menge A ein Vektorraum?
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> [mm]A=(\vektor{0 \\ 0})[/mm]
> Also um das zu Überprüfen habe ich das
> Kommutativ-Gesetz, Assoziativgesetz d. Addition und
> Multiplikation, Nullvektor, additive Inverse, Distributiv
> ......... angewendet.
>
> [mm](\alpha+\beta)*\vektor{x_1 \\ 0}[/mm] = [mm]\alpha*\vektor{x_1 \\ 0} +\beta*\vektor{x_1 \\ 0}[/mm]
Mache dir erst einmal Gedanken darüber, wie die Vektoren in $A$ aussehen ...
Der Vektorraum (?) $A$ enthält doch nur den Nullvektor, jedes Vielfache von [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] ist doch wieder [mm] $\vektor{0\\0}$, [/mm] denn [mm] $\lambda\cdot{}\vektor{0\\0}=\vektor{0\\0}$ [/mm] für beliebiges [mm] $\lambda\in\mathbb{K}$
[/mm]
Der Vektor [mm] $\vektor{x_1\\0}$ [/mm] den du da hinschreibst, wie sieht er also aus?
Er ist aus $A$, also ein Vilefaches von [mm] $\vektor{0\\0}$, [/mm] der ja $A$ aufspannt, also [mm] $\vektor{x_1\\0}=\lambda\cdot{}\vektor{0\\0}=\vektor{0\\0}$
[/mm]
Dh. [mm] $x_1=0$.
[/mm]
Seien also [mm] $\alpha, \beta\in\mathbb{K}$
[/mm]
Dann ist [mm] $(\alpha+\beta)\cdot{}\vektor{0\\0}=\vektor{0\\0}=\vektor{0\\0}+\vektor{0\\0}=\alpha\cdot{}\vektor{0\\0}+\beta\cdot{}\vektor{0\\0}$
[/mm]
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> [mm](\alpha+\beta)*\vektor{0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
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> Meine Frage: Ist meine Annahme Richtig das der Vektor
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] hier das Distributiv-Gesetz nicht erfüllt
> und somit kein Vektorraum ist!
Nein, $A$ ist ein Vektorraum!!
> Würde es als Beweis reichen
> nur zu zeigen das das Distributiv-Gesetz nicht gilt um zu
> zeigen das der Vektor kein Vektorraum ist oder müssen alle
> 8 überprüft werden!
Das würde reichen, um zu widerlegen, dass $A$ ein VR ist, aber das DG gilt ja 
Weise hier kürzer die 3 Unterraumeigenschaften nach (Wenn $A$ UVR ist, so ist es ja Unterraum des [mm] $\mathbb{K}^2$
[/mm]
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Fr 10.10.2008 | | Autor: | fecit |
k, Danke!
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