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| Aufgabe | Es seien V ein K - Vektorraum und (v1,...,vn) eine Basis von V. Weiterhin sei V' = [mm] Hom_{K}(V,K) [/mm] der Dualraum von V. Für j=1,...,n werde [mm] v_{j}^{'} \in [/mm] V' definiert durch
[mm] v_{j}^{'}(v_{k})=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } k \mbox{ gleich j} \\ 0, & \mbox{falls } k \mbox{ ungleich j} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
a.) [mm] B'=(v1^{'},...,vn^{'}) [/mm] ist eine Basis von V'.
b.) Ist f:V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung, so ist [mm]^{t}f:W' \to V'[/mm], [mm]\alpha\mapsto\alpha\circ f[/mm] ebenfalls linear.
c.) Ist [mm] A=M_{B}^{C}(f), [/mm] so gilt [mm] ^{t}A=M_{C'}^{B'}(^{t}f) [/mm] für die transportierte Matrix ^{t}A. |
Hallo zusammen. Ich bin der Stefan und studiere Mathematik. Versuche es zumindestens. Analysis läuft eigentlich recht gut, dafür habe ich in Lineare Algebra totale Probleme und kann es überhaupt nicht. Ich weiß nicht wie ich anfangen soll und auch leider nicht wie ich diverse Difinitionen anwenden soll. Kann mir jemand bei nachstehender Aufgabe helfen?
Wer von euch wäre so nett mir bei dem Lösen dieser Aufgabe zu helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo Stefan. Ich habe mir erlaubt deine Aufgabe nochmal ein bischen schön hinzuschreiben.
a) Zeige, dass die [mm] v_i' [/mm] ein linear unabhängiges ERzeugendensystem von $V'$ sind.
b) Du musst nur zeigen dass [mm] $^tf(\lambda\cdot\alpha+\mu\cdot\beta)=\lambda\cdot{^tf}(\alpha)+\mu\cdot{^tf}(\beta)$ [/mm] ist. Mach dir erstmal klar was überhaupt [mm] $\alpha+\beta$ [/mm] und [mm] $\lambda\cdot\alpha$ [/mm] bedeuten soll, wenn [mm]\alpha,\beta\in V'[/mm] und [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] (also ein Skalar aus dem Grundkörper [mm] $\IK) [/mm] sind.
c) Ok eins nach dem anderen. Angenommen [mm] $A=M_B^C=(a_{ij})_{\substack{1\le i\le n\\1\le j\le m}}$, [/mm] was kannst du dann aussagen über [mm] $f(v_i)=?$?
[/mm]
(Am Besten du machst erstmal die a) und b) bevor du dir c) anschaust...)
Gruß, Robert
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Ok, fang ich mal mit der a.) an:
1.
Woher weißt du, dass ich zeigen muss, dass es ein Erzeugendensystem gibt?
2.
Kenn ich nur die Difinition
Es sei S [mm] \subseteq \IR^n [/mm] und U Unterraum. S heißt
Erzeugendensystem [mm] :\gdw [/mm] U = L(S)
Wie muss ich jetzt diese Difinition anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ok, fang ich mal mit der a.) an:
>
> 1.
> Woher weißt du, dass ich zeigen muss, dass es ein
> Erzeugendensystem gibt?
Eine Basis ist definiert als linear unabhängiges Erzeugendensystem.
> 2.
> Kenn ich nur die Difinition
> Es sei S [mm]\subseteq \IR^n[/mm] und U Unterraum. S heißt
> Erzeugendensystem [mm]:\gdw[/mm] U = L(S)
Die Definition gilt ganz allgemein für Vektorräume (also nicht nur den [mm] $\IR^n$ [/mm] - in der tat ist ja $V'=Hom(V,K)$ was ganz anderes...) . L(S) ist die Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus S. Du musst also zeigen: jedes [mm] $\alpha\in [/mm] V'$ lässt sich schreiben als [mm] $\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i'$ [/mm] für geeignete [mm] $\lambda_i$. [/mm] Tipp: [mm] \lambda_i=\alpha(v_i)
[/mm]
Viele Grüße, Robert
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Mögliche Antwort zur Aufgabe 5a.):
Setzt man [mm] v_{j}^{'}(v_{k})=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } k \mbox{ gleich j} \\ 0, & \mbox{falls } k \mbox{ ungleich j} \end{cases},
[/mm]
so ist [mm] B'=(v_{1}^{'},...,v_{n}^{'}) [/mm] eine Basis von V'.
Beweis:
B' ist ein Erzeugendensystem für V'. Ist nämlich [mm] \gamma [/mm] eine Linearform auf V, die auf den Basisvektoren die Werte [mm] \gamma(v_{i})=\alpha \in [/mm] K annimmt, dann gilt [mm] \gamma=\summe\alpha{_i}v_{i}^{'}. [/mm] Die Vektoren in B' sind ferner linear unabhängig. Aus der Gleichung [mm] \summe_{i=1}^{n}\alpha{_i}v_{i}^{'}=0 [/mm] folgt nämlich, indem man [mm] v_{j} [/mm] einsetzt, [mm] \alpha{_j}=0 [/mm] für alle j=1,...,n.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Mögliche Antwort zur Aufgabe 5a.):
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> Setzt man [mm]v_{j}^{'}(v_{k})=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } k \mbox{ gleich j} \\ 0, & \mbox{falls } k \mbox{ ungleich j} \end{cases},[/mm]
>
> so ist [mm]B'=(v_{1}^{'},...,v_{n}^{'})[/mm] eine Basis von V'.
>
> Beweis:
>
> B' ist ein Erzeugendensystem für V'. Ist nämlich [mm]\gamma[/mm]
> eine Linearform auf V, die auf den Basisvektoren die Werte
> [mm]\gamma(v_{i})=\alpha \in[/mm] K annimmt
Wir nehmen das nicht an, wir definieren [mm] $\alpha_i:=\gamma(v_i)$
[/mm]
> dann gilt [mm]\gamma=\summe\alpha{_i}v_{i}^{'}.[/mm]
Das stimmt zwar, aber warum?
> Die Vektoren in B' sind ferner linear unabhängig. Aus der Gleichung
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\alpha{_i}v_{i}^{'}=0[/mm] folgt nämlich, indem
> man [mm]v_{j}[/mm] einsetzt, [mm]\alpha{_j}=0[/mm] für alle j=1,...,n.
Richtig.
Gruß, Robert
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Muss ich die Antwort auf deine Frage warum? noch in meine Aufgabenbearbeitung mit einbauen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich als Korrektor in ner Einführungsveranstaltung würde sagen "Ja, sonst gibts nicht alle Punkte". Entscheidend ist aber, dass es dir klar ist, d.h. dass du es beweisen kannst. Ist es dir klar?
Gruß, Robert
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Ehrlich gesagt ist mir in Lineare Algebra noch gar nichts so wirklich klar. Wie kann ich denn deine Frage ...warum? beantworten? Ich hätte oder bräuchte nämlich schon alle Punkte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Nun, sei [mm]\alpha\in V^'[/mm]. Behauptung: [mm] $\alpha=\sum_{i=1}^n\alpha(v_i)v_i'$. [/mm] Wie testet man ob zwei Funktionen gleich sind? Indem man guckt ob sie in jedem Punkt gleich sind (so ist "Gleichheit von Funktionen" nämlich definiert). Nimm also [mm]x\in V[/mm] beliebig. Da die [mm]v_i[/mm] eine Basis sind, kannst du schreiben [mm] $x=\sum_{j=1}^n\lambda_jv_j$. [/mm] Nun Berechne [mm] $$\left(\sum_{i=1}^n\alpha(v_i)v_i'\right)\left(\sum_{j=1}^n\lambda_j v_j\right)$$ [/mm] und stell fest dass tatsächlich [mm] $\alpha(x)$ [/mm] rauskommt.
Tatsächlich hätte es natürlich auch genügt, nur [mm] $x=v_j$ [/mm] für alle $j=1,...,n$ zu überprüfen... aber egal.
Gruß, Robert
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Super vielen Dank. Ich würde mich freuen, wenn du mir auch noch bei der 5b.) und 5c.) helfen könntest. Ginge das?
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Wie wende ich bei 5b.)
[mm] ^tf(\lambda*\alpha+\mu+\beta)=\lambda*^tf(\alpha)+\mu*^tf(\beta)
[/mm]
an?
Kann mir dabei jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]^tf(\lambda*\alpha+\mu+\beta)=\lambda*^tf(\alpha)+\mu*^tf(\beta)[/mm]
Das ist ja zu zeigen. Es ist genau wie vorhin: links und rechts stehen Funktionen (nämlich Elemente in $W'$). Um die Gleichheit zu zeigen musst du also gucken ob sie in allen Punkten, also in allen [mm] $w\in [/mm] W$, übereinstimmen.
Gruß, Robert
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Muss ich dann [mm] x=\lambda*^tf(\alpha)+\mu*^tf(\beta) [/mm] setzen?
Und muss ich dann [mm] (^tf(\lambda*\alpha+\mu*\beta)(\lambda*^tf(\alpha)+\mu*^tf(\beta)) [/mm] rechnen?
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Ist dieser Ansatz richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 01.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 30.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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