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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie mit welchen folgenden Operationen die Menge V = [mm] {(a_{1}, a_{2})|a_{1}, a_{2} \in \IR} [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] wird. Begründen Sie Ihre Antwort. Man definiere für beliebige [mm] (a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in [/mm] V und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
1. [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] + [mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] = [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] b_{1}, a_{2}b_{2}), \lambda(a_{1}, a_{2}) [/mm] = [mm] (\lambda a_{1}, a_{2})
[/mm]
2. [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] + [mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] = [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] 2b_{1}, a_{2} [/mm] + [mm] 3b_{2}), \lambda(a_{1}, a_{2}) [/mm] = [mm] (\lambda a_{1}, \lambda a_{2})
[/mm]
3. [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] + [mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] = [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] b_{1}, a_{2} [/mm] + [mm] b_{2}), \lambda(a_{1}, a_{2}) [/mm] = [mm] (\lambda a_{1}, [/mm] 0) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Abend,
es geht um die Aufgabe oben. Die Definition eines Vektorraums habe ich. Nun stelle ich mir die Frage, ob man auch die Addition und die Multiplikation wie z.B. in 1) zusammen durchführen kann. Da würden ja a1 und b2 addiert und a2 und b2 multipliziert. Ist das nach der Definition eines Vektorraums in Ordnung?
Definition (Kurzfassung):
[mm] V_{1}
[/mm]
(V,+) ist eine abelsche Gruppe, d.h. die Assoziazivität und Kommunativität sowie das Nullelement "0" und Negativelement -v zu v [mm] \in [/mm] V ist erfüllt.
[mm] V_{2}
[/mm]
Distributiv- und Assotiativgesetz sowie das neutrale Element "1" muss erfüllt sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie mit welchen folgenden Operationen die Menge
> V = [mm]{(a_{1}, a_{2})|a_{1}, a_{2} \in \IR}[/mm] ein
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] wird. Begründen Sie Ihre Antwort. Man
> definiere für beliebige [mm](a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in[/mm]
> V und [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> 1. [mm](a_{1}, a_{2})[/mm] + [mm](b_{1}, b_{2})[/mm] =
> [mm](a_{1}[/mm] + [mm]b_{1}, a_{2}b_{2}), \lambda(a_{1}, a_{2})[/mm] =
> [mm](\lambda a_{1}, a_{2})[/mm]
> 2. [mm](a_{1}, a_{2})[/mm] + [mm](b_{1}, b_{2})[/mm]
> = [mm](a_{1}[/mm] + [mm]2b_{1}, a_{2}[/mm] + [mm]3b_{2}), \lambda(a_{1}, a_{2})[/mm]
> = [mm](\lambda a_{1}, \lambda a_{2})[/mm]
> 3. [mm](a_{1}, a_{2})[/mm] +
> [mm](b_{1}, b_{2})[/mm] = [mm](a_{1}[/mm] + [mm]b_{1}, a_{2}[/mm] + [mm]b_{2}), \lambda(a_{1}, a_{2})[/mm]
> = [mm](\lambda a_{1},[/mm] 0)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Abend,
> es geht um die Aufgabe oben. Die Definition eines
> Vektorraums habe ich. Nun stelle ich mir die Frage, ob man
> auch die Addition und die Multiplikation wie z.B. in 1)
> zusammen durchführen kann. Da würden ja a1 und b2 addiert
> und a2 und b2 multipliziert. Ist das nach der Definition
> eines Vektorraums in Ordnung?
Genau diese Frage sollst Du beantworten !
FRED
>
> Definition (Kurzfassung):
> [mm]V_{1}[/mm]
> (V,+) ist eine abelsche Gruppe, d.h. die Assoziazivität
> und Kommunativität sowie das Nullelement "0" und
> Negativelement -v zu v [mm]\in[/mm] V ist erfüllt.
> [mm]V_{2}[/mm]
> Distributiv- und Assotiativgesetz sowie das neutrale
> Element "1" muss erfüllt sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Das heißt, in 1) wird durch die Addition und Multiplikation aus der Menge V ein Vektorraum, indem [mm] a_{1} [/mm] mit [mm] b_{1} [/mm] addiert und [mm] a_{2} [/mm] mit [mm] b_{2} [/mm] multipliziert wird.
Zum einen gilt für [mm] a_{1} [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] die Kommunativität: [mm] a_{1} [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] a_{1}, [/mm] zum anderen existiert das Nullelement: (0 + [mm] a_{1}) [/mm] + (0 + [mm] b_{1}) [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] b_{1}. [/mm] Außerdem ist das negative Element [mm] -a_{1},-b_{1} \in [/mm] V enthalten: [mm] (-a_{1} [/mm] + [mm] a_{1}) [/mm] + [mm] (-b_{1} [/mm] + [mm] b_{1}) [/mm] = 0.
So in etwa?
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| Aufgabe | Man definiere für beliebige [mm] (a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in [/mm]V und [mm] \lambda \in \IR [/mm]
1. [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] + [mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] = [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] b_{1}, a_{2}b_{2}), \lambda(a_{1}, a_{2}) [/mm] = [mm] (\lambda a_{1}, a_{2}) [/mm] |
> Das heißt, in 1) wird durch die Addition und
> Multiplikation aus der Menge V ein Vektorraum, indem [mm]a_{1}[/mm]
> mit [mm]b_{1}[/mm] addiert und [mm]a_{2}[/mm] mit [mm]b_{2}[/mm] multipliziert wird.
Hallo,
ob das ein Vektorraum wird, muß erst überprüft werden.
> Zum einen gilt für [mm] $a_{1}$ [/mm] + [mm] $b_{1}$ [/mm] die Kommunativität:
Mal langsam!
Wir halten erstmal fest, daß für die Vektorraumeigenschaft zunächst einmal zu prüfen ist, ob V mit der hier definierten Addition [mm] \oplus [/mm] eine Gruppe bildet.
Dazu muß man sich zunächst überlegen, ob das Ergebnis der Verknüpfung wieder in V liegt.
Dies ist offensichtlich der Fall.
Als nächstes zu prüfen ist die Assoziativität der Verknüpfung,
ob also für [mm] (a_1,a_2), (b_1,b_2), (c_1, c_2)\in [/mm] V gilt, daß
[mm] ((a_1,a_2)+(b_1,b_2))+ (c_1, c_2)= (a_1,a_2)+((b_1,b_2)+(c_1, c_2)).
[/mm]
Prüfe dies.
> Zum einen gilt für [mm] $a_{1}$ [/mm] + [mm] $b_{1}$ [/mm] die Kommunativität:
Achtung: Du hast irgendiwe nicht verstanden, daß die Elemente von V Zahlenpaare sind und nicht etwa "einfache" Zahlen.
Zu prüfen ist hier, ab für alle [mm] (a_1, a_2), (b_1, b_2) \in [/mm] V gilt:
[mm] (a_1,a_2)+(b_1, b_2)=(b_1, b_2)+(a_1, a_2)
[/mm]
Prüfen durch Nachrechnen!
Inzwischen sollte klar sein, daß es um Zahlenpaare geht.
Du mußt nun über das Nullelement neu nachdenken.
Du suchst ein Zahlenpaar [mm] (n_1, n_2) [/mm] so, daß für alle beliebigen Paare [mm] (a_1, a_2) [/mm] gilt:
[mm] (a_1, a_2)+(n_1, n_2)=(a_1, a_2).
[/mm]
Such auf einem geheimen Zettel nach diesem Zahlenpaar, und wenn Du es gefunden hast, beweise, daß es tut, was es tun soll.
Wenn Du das neutrale Element gefunden hast, kannst Du schauen, ob es zu jedem Element auch ein inverses gibt.
Damit wäre dann die Gruppeneigenschaft abgehandelt, und Du kannst Dich den Axiomen der Multiplikation widmen.
Gruß v. Angela
> [mm]a_{1}[/mm] + [mm]b_{1}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]a_{1},[/mm] zum anderen existiert das
> Nullelement: (0 + [mm]a_{1})[/mm] + (0 + [mm]b_{1})[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] + [mm]b_{1}.[/mm]
> Außerdem ist das negative Element [mm]-a_{1},-b_{1} \in[/mm] V
> enthalten: [mm](-a_{1}[/mm] + [mm]a_{1})[/mm] + [mm](-b_{1}[/mm] + [mm]b_{1})[/mm] = 0.
>
> So in etwa?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Do 24.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Vielen Dank, hast mir sehr geholfen!
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