Vektorraum - 3 Punkte spannen eine Ebene auf < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mi 16.06.2004 | | Autor: | xmms |
Hallo
Ich habe folgendes Problem:
In einer Aufgabe heisst es: 3 Punkte P(1/0/2), Q(3/3/3) und R(-4/1/0) liegen in einer Ebene. Bestimmen Sie die Ebenengleichung.
Ist soweit kein Problem, ich habe die Geradengleichung PQ und PR aufgestellt, und die richtige Ebenengleichung kommt herraus.
Ich frage mich jetzt, wenn ich anstatt der Geraden PQ und PR die Geraden PQ und QR verwende, und eine andere Ebenengleichung herrauskommt, ist das die gleiche Ebene wie erste?
Wäre nett, wenn mir das jemand erläutern könnte. Vielen Dank für eure Bemühungen schon mal.
Gruss aus Würzburg
xmms
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo xmms,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe folgendes Problem:
> In einer Aufgabe heisst es: 3 Punkte P(1/0/2), Q(3/3/3)
> und R(-4/1/0) liegen in einer Ebene. Bestimmen Sie die
> Ebenengleichung.
> Ist soweit kein Problem, ich habe die Geradengleichung PQ
> und PR aufgestellt, und die richtige Ebenengleichung kommt
> herraus.
> Ich frage mich jetzt, wenn ich anstatt der Geraden PQ und
> PR die Geraden PQ und QR verwende, und eine andere
> Ebenengleichung herrauskommt, ist das die gleiche Ebene wie
> erste?
Das ist vollkommen korrekt (mit der Geraden PQ meinst du wahrscheinlich einfach den "Differenzvektor" [mm] $\vec{q}-\vec{p}$).
[/mm]
Mit den drei Punkten kannst du ja drei "Differenz"vektoren basteln PQ, PR, QR (es gibt sogar mehr, aber das spielt keine Rolle hier, ich meine nämlich Linearkombinationen dieser drei Vektoren).
Es ist egal, welche zwei dieser drei Vektoren du als Richtungsvektor wählst, du darfst nur nicht zweimal denselben bzw. zwei linear abhängige Vektoren nehmen  :
[mm] $E_1: \vec{x}=\vec{p}+r*\overrightarrow{PQ}+s*\overrightarrow{PR}$
[/mm]
[mm] $E_2: \vec{x}=\vec{p}+r*\overrightarrow{PQ}+s*\overrightarrow{QR}$
[/mm]
[mm] $E_3: \vec{x}=\vec{p}+r*\overrightarrow{PR}+s*\overrightarrow{QR}$
[/mm]
Alle drei Ebenen sind identisch:
[mm] $E_1=E_2=E_3$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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