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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Fr 24.11.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei [mm] (\bruch{-1-1}{\IC}) [/mm] = [mm] \IC [/mm] 1 [mm] \oplus \IC [/mm] i [mm] \oplus \IC [/mm] j [mm] \oplus \IC [/mm] k ein Vektorraum der Dimensiion 4 mit Basis 1,i,j,k.
Zeige, dass dieser Vektorraum zu einem Ring wird, indem man die Produkte der Basiselemente wie folgt festlegt:
i1=1i=i;
j1=1j=j;
[mm] i^{2}=-1;
[/mm]
[mm] j^{2}=-1;
[/mm]
ij=-ij=k
und dies zu einer Multiplikation auf dem Gesamtraum linear fortsetzt.
Gebe einen Ringisomorphismus an.
[mm] (\bruch{-1-1}{\IC}) \to M_{2}(\IC) [/mm] isomorph
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Hallo leute!
Ich habe bei dieser aufgabe sehr große Porbleme sie überhaupt zu verstehen.
Wie kann ich "dies zu einer multiplikation auf dem gesamtraum linear fortsetzen"?
Ich verstehe nicht genau, was ich hier machen soll.
könnt ihr mir erklären, wie ich bei dieser aufgabe vorgehen soll?
Könnt ihr mir bitte helfen, einen geeigneten Ringisomorphismus zu finden?
danke für eure hilfe!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 So 26.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo VHN!
> Sei [mm](\bruch{-1-1}{\IC})[/mm] = [mm]\IC[/mm] 1 [mm]\oplus \IC[/mm] i [mm]\oplus \IC[/mm] j
> [mm]\oplus \IC[/mm] k ein Vektorraum der Dimensiion 4 mit Basis
> 1,i,j,k.
> Zeige, dass dieser Vektorraum zu einem Ring wird, indem
> man die Produkte der Basiselemente wie folgt festlegt:
> i1=1i=i;
> j1=1j=j;
> [mm]i^{2}=-1;[/mm]
> [mm]j^{2}=-1;[/mm]
> ij=-ij=k
> und dies zu einer Multiplikation auf dem Gesamtraum linear
> fortsetzt.
> Gebe einen Ringisomorphismus an.
> [mm](\bruch{-1-1}{\IC}) \to M_{2}(\IC)[/mm] isomorph
>
>
>
> Hallo leute!
>
> Ich habe bei dieser aufgabe sehr große Porbleme sie
> überhaupt zu verstehen.
>
> Wie kann ich "dies zu einer multiplikation auf dem
> gesamtraum linear fortsetzen"?
> Ich verstehe nicht genau, was ich hier machen soll.
> könnt ihr mir erklären, wie ich bei dieser aufgabe
> vorgehen soll?
Also, mal ein Beispiel: Wenn du die komplexen Zahlen definierst, kannst du das so aehnlich machen: Du sagst, dass [mm] $\IC [/mm] = 1 [mm] \IR \oplus [/mm] i [mm] \IR$ [/mm] ist, und du legst fest, dass $1 i = i 1= i$ ist, und dass [mm] $i^2 [/mm] = -1$ ist. Und dann setzt du das linear auf [mm] $\IC$ [/mm] fort.
Sprich: Wenn du zwei Elemente $a 1 + b i, c 1 + d i [mm] \in \IC$ [/mm] hast, dann ist $(a 1 + b i) (c 1 + d i) = a c 1 1 + a d 1 i + b c i 1 + b d [mm] i^2 [/mm] = a c 1 + a d i + b c i + b d (-1) = (a c - b d) 1 + (a d + b c) i$.
> Könnt ihr mir bitte helfen, einen geeigneten
> Ringisomorphismus zu finden?
Du brauchst drei Matrizen $I$, $J$ und $K$ in [mm] $M_2(\IC)$, [/mm] die linear unabhaengig ueber [mm] $\IC$ [/mm] sind (und auch von $1$, der Einheitsmatrix), und die die obigen Relationen erfuellen, also etwa [mm] $I^2 [/mm] = [mm] J^2 [/mm] = [mm] K^2 [/mm] = -1$, $I J = -J I = K$. Wenn du das hast, ist es einfach (wenn du nicht drauf kommst, frag nochmal nach).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 So 26.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Felix
Also ich bearbeite die selbe Aufgabe und ich glaube ich habe die gesuchten Matrizen, die alle Bedingungen erfüllen, kannst du da man einen Blick drauf werfen?
1 = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
i = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
j = [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }
[/mm]
k = [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }
[/mm]
Wenn diese richtig sind, wie verfahre ich dan weiter? wie kann ich damit einen Ringiso angeben? Habe auch so meine Probleme beim verstehen der Aufgabe.
Danke schon mal Binie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Mo 27.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Binie,
> Also ich bearbeite die selbe Aufgabe und ich glaube ich
> habe die gesuchten Matrizen, die alle Bedingungen erfüllen,
> kannst du da man einen Blick drauf werfen?
>
> 1 = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> i = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> j = [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm]
> k = [mm]\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }[/mm]
sehen richtig aus. Wenn ich mich nicht in Maple vertippt hab 
> Wenn diese richtig sind, wie verfahre ich dan weiter? wie
> kann ich damit einen Ringiso angeben? Habe auch so meine
> Probleme beim verstehen der Aufgabe.
Du musst einen Isomorphismus zwischen zwei 4-dimensionalen [mm] $\IC$-Vektorraeumen [/mm] angeben, der zusaetzlich auch noch deren Ringstruktur beruecksichtigt. Du musst also ein Element $x + i y + j z + k w$ mit $x, y, z, w [mm] \in \IC$ [/mm] auf etwas der Form [mm] $\lambda_1 [/mm] 1 + [mm] \lambda_2 [/mm] I + [mm] \lambda_3 [/mm] J + [mm] \lambda_4 [/mm] K$ mit [mm] $\lambda_1, \dots \lambda_4 \in \IC$ [/mm] abbilden. Eine Idee fuer diese Abbildung solltest du haben
Um dann zu zeigen, dass es ein Ringmorphismus ist, musst du halt die Ringmorphismusaxiome nachrechnen. Aber das ist dann einfach, da du die Matrizen $1, I, J, K$ passend gewaehlt hast.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mo 27.11.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo felix!
Danke für deine Hilfe!
Könntest du mir aber vllt helfen diesen gesuchten Ringisomorphismus zu definieren. ich komme einfach nicht drauf.
wie kann die matrizen K, I, J passend wählen? wie mache ich das?
ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen.
vielen vielen dank!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 29.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo VHN!
> Danke für deine Hilfe!
> Könntest du mir aber vllt helfen diesen gesuchten
> Ringisomorphismus zu definieren. ich komme einfach nicht
> drauf.
> wie kann die matrizen K, I, J passend wählen? wie mache
> ich das?
Die Matrizen $K, I, J$ hast du doch schon. Bilde doch einfach [mm] $\alpha [/mm] 1 + [mm] \beta [/mm] i + [mm] \gamma [/mm] j + [mm] \delta [/mm] k$ (hier ist die $1$ das Element aus [mm] $(\bruch{-1-1}{\IC})$) [/mm] auf [mm] $\alpha [/mm] 1 + [mm] \beta [/mm] I + [mm] \gamma [/mm] J + [mm] \delta [/mm] K$ (hier ist die $1$ die Einheitsmatrix) ab.
LG Felix
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