Vektorraum, Basis bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Sa 10.11.2007 | | Autor: | k4m1 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren a = (1; 2; [mm] 0)^T [/mm] , b = (0; 1; [mm] 1)^T [/mm] und c = (2; 1; [mm] 3)^T [/mm] .
a) Sind a, b und c linear unabhängig?
b) Zu welchem Vektorraum bilden sie eine Basis?
c) Ist der Vektor d = (8; 7; [mm] 15)^T [/mm] im Span(b; c); d.h. lässt sich d linear aus b und c kombinieren?
d) Wie muss t [mm] \in [/mm] R aussehen, damit sich der Vektor e(t) = (3; 5t; [mm] 2t)^T [/mm] aus a und b linear kombinieren lässt? |
Ich habe angefangen diese Aufgabe zu rechnen, und habe dazu ersteinmal a) bearbeitet. Ich wüsste zunächsteinmal gerne ob ich hier korrekt vorgegangen bin, und dann bräuchte ich eine Formel / Lösungsweg für alles nach a). Leider habe ich dieses Sachen in meiner Vorlesung nicht wirklich mitgekriegt, und auch aus dem Skript werde ich nicht schlau.
a) Ich verwende das Gaußsche Eleminationsverfahren
1 2 0 |0 --> 1 0 0 |0
0 1 1 |0 --> 0 1 0 |0
2 1 3 |0 --> 0 0 1 |0
Damit wären die drei Vektoren linear unabhängig. Allerdings habe ich in diesem Fall ja die Potenz ^T nicht beachtet, und bin mir deswegen unsicher.
b) Fehlt mir leider schon der Ansatz...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Was soll denn das T sein? Doch keine Potenz oder? Ist das nicht einfach das transponierte?
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> Gegeben seien die Vektoren a = (1; 2; [mm]0)^T[/mm] , b = (0; 1;
> [mm]1)^T[/mm] und c = (2; 1; [mm]3)^T[/mm] .
>
> a) Sind a, b und c linear unabhängig?
> b) Zu welchem Vektorraum bilden sie eine Basis?
> c) Ist der Vektor d = (8; 7; [mm]15)^T[/mm] im Span(b; c); d.h.
> lässt sich d linear aus b und c kombinieren?
> d) Wie muss t [mm]\in[/mm] R aussehen, damit sich der Vektor e(t) =
> (3; 5t; [mm]2t)^T[/mm] aus a und b linear kombinieren lässt?
> Ich habe angefangen diese Aufgabe zu rechnen, und habe
> dazu ersteinmal a) bearbeitet. Ich wüsste zunächsteinmal
> gerne ob ich hier korrekt vorgegangen bin, und dann
> bräuchte ich eine Formel / Lösungsweg für alles nach a).
> Leider habe ich dieses Sachen in meiner Vorlesung nicht
> wirklich mitgekriegt, und auch aus dem Skript werde ich
> nicht schlau.
>
> a) Ich verwende das Gaußsche Eleminationsverfahren
> 1 2 0 |0 --> 1 0 0 |0
> 0 1 1 |0 --> 0 1 0 |0
> 2 1 3 |0 --> 0 0 1 |0
> Damit wären die drei Vektoren linear unabhängig.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast das völlig richtig gemacht.
Du weißt jetzt, daß k_1a+k_2b+k_3c=0 nur von [mm] k_1=k_2=k_3=0 [/mm] gelöst werden kann, also sind die Vektoren linear unabhängig.
> Allerdings habe ich in diesem Fall ja die Potenz ^T nicht
> beachtet, und bin mir deswegen unsicher.
Wie Tyskie bereits sagt, sollst Du die Transponierten dieser Tripel nehmen, also Spaltenveltoren.
>
> b) Fehlt mir leider schon der Ansatz...
Du hast nun drei linear unabhängige Vektoren aus dem [mm] \IR^3.
[/mm]
Welche Dimension muß der Raum haben, den sie aufspannen?
Nun bedenke noch, daß der von ihnen aufgespannte Raum ein Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] sein muß.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Sa 10.11.2007 | | Autor: | k4m1 |
Wenn ich mich richtig erinnere, müsste man die Dimension durch die Formel n-k errechnen können. Wobei N die gesamte Anzahl an Spalten ist und K die Anzahl der Pivot Spalten ist. In meinem Fall wäre das ja
3-3=0 also müsste die Basis Null dimensional sein.
Würde das nicht bedeuten, dass der Nullvektor die Basis bildet?
Bei deiner Antwort habe ich leider diesen Part nicht verstanden:
"Transponierten dieser Tripel nehmen, also Spaltenveltoren." Was genau sind Spaltenvektoren? Wie unterscheiden die sich von normalen Vektoren? Ich würde das gerne richtig verstehen.
Aber vielen Dank schon mal für die rasche Reaktion!
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Hallo,
Spaltenvektoren sind die "normalen" Vektoren.
[mm] (1,2,3)^T [/mm] bedeutet: [mm] \vektor{1 \\ 2\\3}, [/mm] und ich bin mir sicher, daß Du das intuitiv so verstanden hast.
> Wenn ich mich richtig erinnere, müsste man die Dimension
> durch die Formel n-k errechnen können. Wobei N die gesamte
> Anzahl an Spalten ist und K die Anzahl der Pivot Spalten
> ist. In meinem Fall wäre das ja
> 3-3=0 also müsste die Basis Null dimensional sein.
> Würde das nicht bedeuten, dass der Nullvektor die Basis
> bildet?
Jetzt geht einiges durcheinander.
Die Dimension des aufgespannten Raumes ist gleich dem Rang der Matrix, also =k.
Schau mal, wie Du das mit Deinen Unterlagen zusammenbringst.
Das, was Du beschreibst, ist etwas anderes, ich möchte da nicht viel zu sagen, weil ich überhaupt nicht weiß, was Ihr bereits gemacht habt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Sa 10.11.2007 | | Autor: | k4m1 |
Also wäre die Dimension =3? Ich meine ich zähle hier drei Pivotspalten.
Mein Problem ist folgendes, ich habe kein Verständnis was genau die Basis dieser oder beliebiger Vektoren ist .
Hier wäre mir mit einer Erklärung sehr geholfen.
Ich lade hier mal im Anhang den Teil des Skriptes hoch, der zu diesem Aufgabenkomplex gehört, dann weißt du evtl. was ich 'ungefähr' bereits gemacht habe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Also wäre die Dimension =3?
Ja.
Du hast drei Pivotspalten, das sagt Dir, daß der Raum, den diese Vektoren aufspannen, die Dimension 3 hat.
> Mein Problem ist folgendes, ich habe kein Verständnis was
> genau die Basis dieser oder beliebiger Vektoren ist .
Hier taucht ein ganz fürchterliches Riesenproblem auf: Du hast überhaupt nicht verstanden, was eine Basis ist...
Es gibt keine Basis "dieser oder beliebiger Vektoren".
Eine Basis gibt es von Vektorräumen. Diese Vektorräume sind mitunter Räume, die von "diesen oder anderen Vektoren" aufgespannt werden.
Schau Dir in Deinem Skript gut die Begriffe Erzeugendensystem, linear unabhängig, Basis, Dimension und erzeugter Unterraum an.
Das Verständnis ist sehr wichtig für das, was noch folgen wird in der Vorlesung.
Fragen dazu kannst Du gerne im Forum stellen, aber ich denke, es ist keinem geholfen, wenn ich das an dieser Stelle erkläre. Das können die Bücher besser als ich - und sie sind schon fertig gedruckt.
Gruß v. Angela
> Hier wäre mir mit einer Erklärung sehr geholfen.
> Ich lade hier mal im Anhang den Teil des Skriptes hoch,
> der zu diesem Aufgabenkomplex gehört, dann weißt du evtl.
> was ich 'ungefähr' bereits gemacht habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 11.11.2007 | | Autor: | k4m1 |
Ok, ich habe ein bisschen was über die Problematik gelesen, und würde jetzt gerne wissen, ob es in die richtige Richtung geht.
wenn
1 2 0 |0 --> 1 0 0 |0
0 1 1 |0 --> 0 1 0 |0
2 1 3 |0 --> 0 0 1 |0
korrekt ist, müsste doch gelten, dass [mm] (0,0,0)^T [/mm] eine Basis zu meinem Vektorraum ist. Damit wäre meine Basis nulldimensional. Geht das soweit in die richtige Richtung?
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> Ok, ich habe ein bisschen was über die Problematik gelesen,
> und würde jetzt gerne wissen, ob es in die richtige
> Richtung geht.
> wenn
> 1 2 0 |0 --> 1 0 0 |0
> 0 1 1 |0 --> 0 1 0 |0
> 2 1 3 |0 --> 0 0 1 |0
> korrekt ist, müsste doch gelten, dass [mm](0,0,0)^T[/mm] eine Basis
> zu meinem Vektorraum ist. Damit wäre meine Basis
> nulldimensional. Geht das soweit in die richtige Richtung?
Hallo, nein, es geht leider in die genau entgegengesetzte Richtung...
Du hast drei Vektoren, welche Du auf lineare Unabhängigkeit prüfen sollst.
Dazu hast Du sie in eine Matrix gesteckt und diese in Zeilenstufenform gebracht, was völlig korrekt ist.
Nun hast Du ermittelt, daß der Rang der Matrix (nennt Ihr das: Anzahl der Pivotzeilen?) =3 ist.
Das bedeutet, daß diese Vekoten linear unabhängig sind, und drei linear unabhängige Vektoren können nichts anderes tun als einen Raum der Dimension 3 aufzuspannen.
Es gibt nur einen einzigen Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] der die Dimension 3 hat. Welcher ist das?
Du schreibst, daß Du aus der Umformung der Matrix folgerst,
> dass [mm](0,0,0)^T[/mm] eine Basis zu meinem Vektorraum ist.
Das ist vielleicht ein Mißverständnis:
es ist [mm] (x,y,z)=(0,0,0)^T [/mm] die Lösung der Gleichung x*(1; 2; [mm] 0)^T [/mm] +y* (0; 1; [mm] 1)^T [/mm] +z* (2; 1; [mm] 3)^T =(0,0,0)^T,
[/mm]
welche Du durch Dein Matrixmanöver gefunden hast.
Und weil es tatsächlich nur die Lösung x=y=z=0 gibt, sind Deine drei Vektoren linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 11.11.2007 | | Autor: | k4m1 |
der einzig mögliche dreidimensionale Vektorraum in R³ ist R³ selbst...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 11.11.2007 | | Autor: | k4m1 |
Gaußsche Eliminationsverfahren:
1 0 3 |0
0 1 4 |0
0 0 0 |0
Aus der letzten Zeile ergibt sich, dass sich d nicht linear aus den andern beiden kombinieren lässt. Ist das korrekt?
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> Gaußsche Eliminationsverfahren:
> 1 0 3 |0
> 0 1 4 |0
> 0 0 0 |0
>
> Aus der letzten Zeile ergibt sich, dass sich d nicht linear
> aus den andern beiden kombinieren lässt. Ist das korrekt?
Nein. Du kannst genau das Gegenteil davon ablesen.
Dein dritter Vektor ist eine Linearkombination der ersten beiden.
Gruß v. Angela
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