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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 04.12.2006 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, und sei V ein K-Vektorraum. Sei [mm] v_{1},...,v{n} [/mm] eine Basis von V, und sei v = [mm] a_{1}v_{1} [/mm] +...+ [mm] a_{n}v_{n} \in [/mm] V mit [mm] a_{1},..., a_{n} \in [/mm] K.
Beweisen Sie: Genau dann ist [mm] v_{1} [/mm] + [mm] v,...,v_{n} [/mm] + v eine Basis von V, wenn [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \not= [/mm] -1 |
Hallo,
so jetzt zu meiner zweiten Frage für diesen Abend:
v = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} \in [/mm] V
Wenn ich das jetzt einsetze erhalte ich
[mm] v_{1} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} [/mm] ,..., [mm] v_{n} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} [/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n} (a_{i}v_{i}) v_{i} [/mm]
Setze [mm] a_{i} [/mm] = -1
[mm] \summe_{i=1}^{n} -v_{i} v_{i}
[/mm]
= [mm] -v_{n} [/mm] + [mm] v_{n} [/mm] = 0
V lässt sich also nicht von [mm] v_{1}+v,..., v_{n}+v [/mm] darstellen wenn [mm] a_{i} [/mm] = -1 ist. Stimmt das so?
Danke,
Yvonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Offensichtlich ist V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Folglich bilden n beliebige Vektoren aus V genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Die lineare Unabhängigkeit von [mm] w_1, [/mm] ..., [mm] w_n [/mm] zeigt man, indem aus [mm] b_1w_1 [/mm] + ... + [mm] b_nw_n [/mm] = 0 mit [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_n\inK [/mm] als einzige Lösung folgt: [mm] b_1 [/mm] = ... = [mm] b_n [/mm] = 0.
Diese allgemeine Überlegungen wendest du auf den vorliegenden Fall an:
0 = [mm] b_1(v_1+v) [/mm] + ... + [mm] b_n(v_n+v)
[/mm]
= [mm] b_1v_1 [/mm] + ... [mm] b_nv_n [/mm] + [mm] (b_1+...+b_n)*v
[/mm]
= [mm] b_1v_1 [/mm] + ... [mm] b_nv_n [/mm] + [mm] (b_1+...+b_n)*(a_1v_1+...+a_nv_n)
[/mm]
= [mm] (b_1+a_1*S)*v_1 [/mm] + ... + [mm] (b_n+a_n*S)*v_n [/mm] wobei [mm] S=b_1+...+b_n
[/mm]
Nun ist ja nach Voraussetzung [mm] v_1,...,v_n [/mm] eine Basis.
Also gilt das Gleichungssystem:
0 = [mm] b_1+a_1*S
[/mm]
...
0 = [mm] b_n+a_n*S
[/mm]
Durch Addition folgt:
0 = [mm] (b_1+...+b_n) [/mm] + [mm] (a_1+...+a_n)*S
[/mm]
= S + [mm] (a_1+...+a_n)*S
[/mm]
= [mm] S*(a_1+...+a_n [/mm] - 1)
Hier triffst du also auf: [mm] a_1+...+a_n [/mm] = 1.
Die restliche Argumentation überlasse ich dir.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin!
Dank erstmal für deine Antwort hat mir sehr geholfen aber
Ich hab da mal ne Frage:
> Durch Addition folgt:
> 0 = [mm](b_1+...+b_n)[/mm] + [mm](a_1+...+a_n)*S[/mm]
> = S + [mm](a_1+...+a_n)*S[/mm]
> = [mm]S*(a_1+...+a_n[/mm] - 1)
>
> Hier triffst du also auf: [mm]a_1+...+a_n[/mm] = 1.
> Die restliche Argumentation überlasse ich dir.
1. müßte das hier nicht
[mm] $S*(1+a_1+\dots +a_n)=0$ [/mm] heißen?
2. wir haben hier doch eigentlich nur den "Rückweg" gezeigt also:
[mm] $\sum_{i=1}^n a_i\not= [/mm] -1 [mm] \Rightarrow$ [/mm] die [mm] $v_i+v$ $i=1,\dots,n$ [/mm] sind eine Basis
muß ich den "Hinweg" nicht auch noch zeigen? also
[mm] $v_i+v$ $i=1,\dots,n$ [/mm] sind eine Basis [mm] $\Rightarrow \sum_{i=1}^n a_i \not= [/mm] -1$
MfG
Sashman
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Ja, ich habe mich verschrieben. Es muss heißen:
0 = [mm] S*(a_1+...+a_n+1)
[/mm]
Zur Argumentation:
[mm] v_1+v,...,v_n+v [/mm] Basis [mm] \gdw v_1+v,...,v_n+v [/mm] linear unabhängig [mm] \gdw [/mm] das Gleichungssystem
0 = [mm] b_1+a_1*S
[/mm]
...
0 = [mm] b_n+a_n*S
[/mm]
hat nur die triviale Lösung [mm] b_1=...=b_n=0.
[/mm]
Betrachten wir das Gleichungssystem. In Matrixschreibweise ergibt das
[mm] \pmat{ 1+a_1 & a_1 & a_1 & ... \\ a_2 & 1+a_2 & a_2 & ... \\ a_3 & a_3 & 1+a_3 & ... \\ ... & ... & ... & ... } [/mm] * [mm] \vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ ...} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ ...}
[/mm]
Es gilt dann: [mm] v_1+v,...,v_n+v [/mm] Basis [mm] \gdw [/mm] det [mm] A\not=0, [/mm] wobei A die obige Matrix sein soll.
Nun ändern Zeilenoperationen wie Addition von Zeilen nichts an der Determinanten. Das heißt, die Determinante bleibt gleich, wenn in der letzten Zeile die Summe aller Zeilen eingetragen wird. Diese letzte Zeile hat dann an jeder Stelle den gleichen Eintrag [mm] 1+a_1+...+a_n.
[/mm]
Wenn dieser =0 ist folgt det A = 0. Das zeigt: [mm] a_1+...+a_n [/mm] = -1 [mm] \rightarrow v_1+v,...v_n+v [/mm] keine Basis.
Ist dieser [mm] \not=0, [/mm] so kann ich durch diesen Faktor teilen. Ich erhalte eine neue Matrix B, die in der letzten Zeile lauter 1er hat und für die gilt: det A = [mm] (1+a_1+...+a_n) [/mm] * det B.
Nun schreibe ich in die i-te Zeile für [mm] 1\lei\len-1 [/mm] die i-te Zeile minus das [mm] a_i-fache [/mm] der letzten Zeile. Dadurch erhalte ich eine Matrix C, die in der letzten Zeile genauso aussieht wie B und sonst wie die Einheitsmatrix [mm] E_n. [/mm] Es gilt det C = det B. Offensichtlich ist det C = 1.
Damit gilt: det A = [mm] (1+a_1+...+a_n) [/mm] * det B = [mm] (1+a_1+...+a_n) [/mm] * det C = [mm] (1+a_1+...+a_n) [/mm] * 1 = [mm] 1+a_1+...+a_n.
[/mm]
Also mit obigem Fall stets: det A = [mm] 1+a_1+...+a_n.
[/mm]
Womit die gewünschte Äquivalenz gezeigt ist.
qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Oliver!
Schön Dank erstomol für deine Erklärungen. Denke ich habs geschnitten.
Hänge als pdf mal den Beweis an. Ist zwar ein klein wenig umfangreicher aber so denke ich wasserdicht. Kannst ja mal n Blick drüber werfen wenn du Lust hast.
MfG
Sashman
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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