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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Vektorraum, Lineare Abhängigke
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Vektorraum, Lineare Abhängigke: Umformung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Di 20.05.2014
Autor: Laura92

Hallo,

Ich bin gerade beim Thema Linearer (Un-)Abhängigkeit.
Verstehe das Prinzip soweit.

Aber jetzt habe ich eine Aufgabe, wo mir nicht Koordinaten gegeben sind, wie z.B.

U=<(1;0;3;−2),(0;1;−1;−1),(1;1;2;−3) usw.

sondern da steht soetwas:

U= [mm] \{(x_{1}+x_{3};x_{2};2x_{2} - 3x_{3})| x_{1},x_{2},x_{3}\in\IR\} [/mm]

Hier steht jetzt, dass U "getarnt" ist und dann haben die das in diese Form gebracht:

[mm] (x_{1}+x_{3},x_{2},2x_{2} [/mm] − [mm] 3x_{3})= [/mm]

[mm] x_{1}⋅(1;0;0)+x_{2}⋅(0;1;2)+x_{3}⋅(1;0;−3) [/mm]

Und dann als weiteren Schritt die [mm] x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] einfach weggelassen:

U=<(1;0;0),(0;1;2),(1;0;−3)>


Meine Frage:

Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären was hier gerechnet wurde?


Vielen Dank

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Vektorraum-Lineare-Abhaengigkeit

        
Bezug
Vektorraum, Lineare Abhängigke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Di 20.05.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Ich bin gerade beim Thema Linearer (Un-)Abhängigkeit.
>  Verstehe das Prinzip soweit.
>  
> Aber jetzt habe ich eine Aufgabe, wo mir nicht Koordinaten
> gegeben sind, wie z.B.
>  
> U=<(1;0;3;−2),(0;1;−1;−1),(1;1;2;−3) usw.
>  
> sondern da steht soetwas:
>  
> U= [mm]\{(x_{1}+x_{3};x_{2};2x_{2} - 3x_{3})| x_{1},x_{2},x_{3}\in\IR\}[/mm]
>  
> Hier steht jetzt, dass U "getarnt" ist und dann haben die
> das in diese Form gebracht:
>  
> [mm](x_{1}+x_{3},x_{2},2x_{2}[/mm] − [mm]3x_{3})=[/mm]
>  
> [mm]x_{1}⋅(1;0;0)+x_{2}⋅(0;1;2)+x_{3}⋅(1;0;−3)[/mm]
>  
> Und dann als weiteren Schritt die [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] einfach
> weggelassen:
>  
> U=<(1;0;0),(0;1;2),(1;0;−3)>
>  
>
> Meine Frage:
>  
> Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären was hier
> gerechnet wurde?
>  
>
> Vielen Dank
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Vektorraum-Lineare-Abhaengigkeit


Du siehst es vielleicht besser, wenn ich es so schreibe:



$ [mm] (x_{1}+x_{3},x_{2},2x_{2}- 3x_{3})= \vektor{x_1+0+x_3 \\ 0+x_2 \\ 0+2x_2-3x_3}^T=\vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}^T+\vektor{0 \\ x_2\\ 2x_2}^T+\vektor{x_3 \\ 0 \\ -3x_3}^T=x_1\vektor{1 \\ 0 \\ 0}^T+ x_2\vektor{0 \\ 1\\ 2}^T+x_3\vektor{1 \\ 0 \\ -3}^T$ [/mm]

Damit ist U gerade die lineare Hülle der Vektoren (1;0;0), (0;1;2)  und (1;0;−3)

FRED


Bezug
                
Bezug
Vektorraum, Lineare Abhängigke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Di 20.05.2014
Autor: Laura92

Der Verlauf der Umstellung ist nachvollziehbar, nur verstehe ich bei dem ersten Schritt leider nicht ganz woher die Nullen kommen.
Nach welcher Regel werden sie addiert?



Bezug
                        
Bezug
Vektorraum, Lineare Abhängigke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Di 20.05.2014
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenmr]

> Der Verlauf der Umstellung ist nachvollziehbar, nur
> verstehe ich bei dem ersten Schritt leider nicht ganz woher
> die Nullen kommen.

Es ist bspw.

[mm] x_1+x_3=1*x_1+0*x_2+1*x_3 [/mm]

> Nach welcher Regel werden sie addiert?

Wer ist 'sie'? :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Vektorraum, Lineare Abhängigke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 Di 20.05.2014
Autor: Laura92

Ah, jetzt hab ich es verstanden. Vielen Dank!

Bezug
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