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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Sa 15.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
...das ist eine Testaufgabe die ich im Web ohne Lösungen gefunden habe.
Ich verstehe so ziemlich gar nix an dieser, darum würd ich gerne mal fragen.
Sei P3 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3.
Gegeben sei folgende Abbildung:
f: P3 [mm] \mapsto [/mm] P3
p(x) [mm] \mapsto [/mm] x*p'(x) - p(x)
a.) Zeigen Sie das f eine Lineare Abbildung ist.
Naja also eben wenn sie linear ist dann gilt p(x*k) = x*p'(k*x) - p(x*k)
...aber wenn p(x) ein Polynom ist, dann wird ja x potenziert und dann ist es nicht mehr linear...?
b.) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A von F bezüglich der Basis B1= [mm] [1,x,x^{2},x^{3}]
[/mm]
Also ich soll eine Lineare Abbildung A finden, die was macht? Bezüglich der Basis???
Wäre froh um ein paar Tipps - ich hoffe ich komme dann weiter...
Gruss
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Hallo,
a)
$\ f(p(x)) = x*p'(x) - p(x)$
$\ f $ linear $\ [mm] \gdw [/mm] $
(i) $\ f(p(x)+q(x)) = [mm] \left(x*p'(x) - p(x)\right) [/mm] + [mm] \left( x*q'(x) - q(x)\right) [/mm] $
(ii) $\ [mm] f(\lambda [/mm] p(x)) = [mm] \lambda [/mm] f(p(x)) $
Prüfe das.
b)
Jede lin. Abbildung ist durch eine Matrix $\ A $ eindeutig bestimmt.
Für die Darstellungsmatrix $\ A$ gilt, dass die Spalten von $\ A $ die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren aus dem Urbildbereich sind.
Wenn dir das neu ist, siehe ![[]](/images/popup.gif) Abbildungsmatrix
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 So 16.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke... also a.) ist mir jetzt völlig klar.
Nur b.) ...da haperts! Also wie ich die Aufgabe mit Zahlen bzw. Richtigen Matrizen und Vektoren lösen kann ist mir klar. Aber wie soll ich das mit diesen Polynomen machen?
Ich habe jetzt einfach mal die Funktion von jedem Element der Basis gemacht und bekomme:
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ x^{2} \\ 2*x^{3}}
[/mm]
sagt mir aber nicht viel, das ist nicht etwa die Lösung?
Noch ein bisschen Hilfe bitte...?
Gruss
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
nein.
Stelle zunächst die Bilder der Basisvektoren bezüglich der selben Basis dar.
D.h. ermittle die Koordinaten von $\ f(1), f(x), f(x^2), f(x^3) $ bezüglich der Basisvektoren $\ (1,x,x^2,x^3} $.
Die Koordinaten von $\ f(1) $ bilden die erste Spalte deiner Matrix. Die Koordinaten von $\ f(x) $ die zweite und so weiter.
Das kriegst du hin.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 So 16.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Danke nochmal. So langsam dämmert es mir was das heisst "Vektoren bezüglich einer anderen Basis darstellen". Es ist ein paar Monate her seit ich das letzte mal Lineare Algebra gemacht habe...vielleicht nicht die beste Aufgabe zum einsteigen.
Also ich versteh es jetzt so:
-1 = a*1 + b*x + [mm] c*x^{2} [/mm] + [mm] d*x^{3} [/mm] ---> a = 1 ,b,c,d = 0
0 = ... ---> a,b,c,d = 0
[mm] x^{2} [/mm] = ... ---> c = 1, a,b,d = 0
[mm] 2*x^{3} [/mm] = ... ---> d = 2 ,a,b,c = 0
------------------------------------------------------->>>
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
So in etwa?
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Moin,
> Hi,
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> Danke nochmal. So langsam dämmert es mir was das heisst
> "Vektoren bezüglich einer anderen Basis darstellen". Es
> ist ein paar Monate her seit ich das letzte mal Lineare
> Algebra gemacht habe...vielleicht nicht die beste Aufgabe
> zum einsteigen.
>
> Also ich versteh es jetzt so:
>
> -1 = a*1 + b*x + [mm]c*x^{2}[/mm] + [mm]d*x^{3}[/mm] ---> a = 1 ,b,c,d = 0
>
> 0 = ... ---> a,b,c,d = 0
>
> [mm]x^{2}[/mm] = ... ---> c = 1, a,b,d = 0
>
> [mm]2*x^{3}[/mm] = ... ---> d = 2 ,a,b,c = 0
>
>
> ------------------------------------------------------->>>
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> So in etwa?
Sieht gut aus!
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 16.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Thanks.
! ! ! Hab noch nen kleinen Fehler: a sollte (-1) sein und nicht 1 ! ! !
Gruss
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