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Forum "Topologie und Geometrie" - Vektorraum Sup-Norm
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Vektorraum Sup-Norm: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Di 27.09.2011
Autor: dr_geissler

Aufgabe 1
(a) Zeigen sie, dass jeder Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt die Parallelogrammidentität erfüllt (wobei [mm] $||x||:=\sqrt{})$: [/mm]

[mm] $||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$ [/mm] für [mm] x,y\in [/mm] V.

Aufgabe 2
(b) Benutzen sie (a), um zu zeigen, dass die Supremumsnorm auf $C[0,1]$ nicht von einem Skalarprodukt kommt (d.h. die Sup.-Norm kann nicht als [mm] ||f||=\sqrt{} [/mm] geschrieben werden).

Also (a) ist einfach. Man muß ja nur die Def. des Skalarproduktes anwenden und ausrechnen.

Aber bei (b) komm ich nicht weiter.

Wenn ich die Definitionen anwende, komm ich auf:

[mm] ||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=(sup_{x\in[0,1]}|f+g|)^2+(sup_{x\in[0,1]}|f-g|)^2 [/mm]

[mm] 2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty}=2*(sup_{x\in[0,1]}|f|)^2+2*(sup_{x\in[0,1]}|g|)^2 [/mm]

Jetz muss ich doch nur noch zeigen, dass hierbei keine Gleichheit besteht, oder?

[mm] Also:||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}\le 2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty} [/mm]

Wenn nicht, wie geh ich da am besten vor?

        
Bezug
Vektorraum Sup-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> (a) Zeigen sie, dass jeder Vektorraum [mm]V[/mm] mit einem
> Skalarprodukt die Parallelogrammidentität erfüllt (wobei
> [mm]||x||:=\sqrt{})[/mm]:
>  
> [mm]||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)[/mm] für [mm]x,y\in[/mm] V.
>  (b) Benutzen sie (a), um zu zeigen, dass die Supremumsnorm
> auf [mm]C[0,1][/mm] nicht von einem Skalarprodukt kommt (d.h. die
> Sup.-Norm kann nicht als [mm]||f||=\sqrt{}[/mm] geschrieben
> werden).
>  Also (a) ist einfach. Man muß ja nur die Def. des
> Skalarproduktes anwenden und ausrechnen.
>  
> Aber bei (b) komm ich nicht weiter.
>  
> Wenn ich die Definitionen anwende, komm ich auf:
>  
> [mm]||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=(sup_{x\in[0,1]}|f+g|)^2+(sup_{x\in[0,1]}|f-g|)^2[/mm]
>  
> [mm]2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty}=2*(sup_{x\in[0,1]}|f|)^2+2*(sup_{x\in[0,1]}|g|)^2[/mm]
>  
> Jetz muss ich doch nur noch zeigen, dass hierbei keine
> Gleichheit besteht, oder?
>  
> [mm]Also:||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}\le 2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty}[/mm]


Diese Ungl. stimmt i.a. nicht !

>  
> Wenn nicht, wie geh ich da am besten vor?

Suche zwei ganz konkrete Funktionen f,g [mm] \in[/mm]   [mm]C[0,1][/mm] mit:

[mm] ||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}\ne 2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty} [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Vektorraum Sup-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Di 27.09.2011
Autor: dr_geissler

Also nehe ich einfach
$f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)$

Dann ist
[mm] ||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=2+1=3 [/mm]

[mm] 2||f||^2_{\infty}+2||g||^2_{\infty}=2+2=4 [/mm]

Damit ist die UNgleichheit gezeigt.


Ist das so korrekt??

Bezug
                        
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Vektorraum Sup-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Di 27.09.2011
Autor: fred97


> Also nehe ich einfach
>  [mm]f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)[/mm]
>  
> Dann ist
> [mm]||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=2+1=3[/mm]

Das stimmt nicht

>  
> [mm]2||f||^2_{\infty}+2||g||^2_{\infty}=2+2=4[/mm]

Das auch nicht


FRED

>  
> Damit ist die UNgleichheit gezeigt.
>  
>
> Ist das so korrekt??


Bezug
                                
Bezug
Vektorraum Sup-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Di 27.09.2011
Autor: dr_geissler


> > Also nehe ich einfach
>  >  [mm]f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)[/mm]
>  >  
> > Dann ist
> > [mm]||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=2+1=3[/mm]
>  
> Das stimmt nicht

Warum?

Das supremum von sinx+cosx im Intervall [0,1] ist [mm] \sqrt{2}, [/mm] also ist [mm] ||f+g||^2_{\infty}=2 [/mm]

Oder nicht??

>  >  
> > [mm]2||f||^2_{\infty}+2||g||^2_{\infty}=2+2=4[/mm]
>  
> Das auch nicht
>  
>
> FRED
>  >  
> > Damit ist die UNgleichheit gezeigt.
>  >  
> >
> > Ist das so korrekt??
>  


Bezug
                                        
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Vektorraum Sup-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Di 27.09.2011
Autor: fred97

Du hast mit allem recht. Ich hab mich vertan

Gruß FRED

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