Vektorraum V über K < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 So 11.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
in 2 Tagen muß ich die Lösung zu folgender Aufgabe für ein Testat vorweisen. Es wäre schön wenn mir jemand helfen
könnte. Mir ist unklar ob alle Vektoren v1,...vr, vr+1 lin. abhänig sind oder nur vr+1???
"Es ist V ein Vektorraum über K. Zeigen Sie:
a) Sind v1,....,vr linear unabhängig, und ist v1,... vr, vr+1 linear abhängig, so ist vr+1 [mm] \in [/mm] Span [mm] \{v1,...vr \}.
[/mm]
b) Sind v1,....,vr linear unabhänige Vektoren in V. Es sei v=a1*v1+...+an*vn mit ai [mm] \in [/mm] K für i=1,...n. Zu zeigen ist:
Genau dann sind v1-v,....vn-v linear abhängig, wenn a1+...+an=1.
c) Es seien [mm] \beta [/mm] : V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbilung und v [mm] \in [/mm] V. Es sei [mm] \beta^n [/mm] (v) = [mm] \beta \circ....\circ \beta(v)=0 [/mm] mit
n Faktoren [mm] \beta [/mm] und [mm] \beta^{n-1} \not= [/mm] 0 für ein n [mm] \ge [/mm] 1.
Zu zeigen ist: v, [mm] \beta(v),...,\beta^{n-1} [/mm] (v) sind linear unabhängig."
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Mir ist unklar ob alle Vektoren v1,...vr, vr+1 lin.
> abhänig sind oder nur vr+1???
Ein einzelner Vektor ist immer linear unabhängig, außer es handelt sich um den Nullvektor. Also gemeint ist, dass [mm] \{v_1,...,v_r, v_{r+1}\} [/mm] linear abhängig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 11.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
besten Dank für die Antwort!
Nun weiß ich immer noch nicht wie ich zeigen kann, dass vr+1 Element von Span(v1,...vr) ist?
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Was würde denn für [mm] \{v_1,...,v_{r+1}\} [/mm] gelten, wenn [mm] v_{r+1} [/mm] nicht im Spann von [mm] \{v_1,...,v_r\} [/mm] liegen würde! Beachte dabei, dass [mm] \{v_1,...,v_r\} [/mm] linear unabhängig ist!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 So 11.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
SPANN meint doch die Basis eines Vektorraumes. Nach meinem Verständnis dürfen Vektoren, die die Basis bilden nur lin. unabhänig sein. Der Vektor vr+1 und damit das Element vr+1 kann nicht die Hülle "aufspannen".
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Nein, Spann meint nicht die Basis eines Vektorraumes. Der Spann von einer Menge von Vektoren ist einfach die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. Bilden diese Vektoren ein Erzeugendensystem so ist der Spann der Vektoren der gesammte Vektorraum.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 11.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
ich habe immer noch nicht verstanden, warum die unabhängigen Vektoren mit v (v1,...,vr) und die abhängigen Vektoren auch mit v
(v1,...,vr, vr+1) gekennzeichnet werden. Ich würde die abnängigen Vektoren z.B. mit w bezeichnen.
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Es sind doch die gleichen Vektoren?! Warum sollten die unterschiedlich heißen?!
Vielleicht hilft dir ein Beispiel: [mm] V=\IR^2, K=\IR, [/mm] r:=2
[mm] v_1= \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_2= \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_3=\vektor{4 \\ 1}
[/mm]
[mm] \{v_1,v_2\} [/mm] ist linear unabhängig und [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] ist linear abhängig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 11.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Du schreibst:
> [mm]\{v_1,v_2\}[/mm] ist linear unabhängig und [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] ist
> linear abhängig.
Müsste es nicht richtig heißen
Die beiden [mm]\{v_1,v_2\}[/mm] sind linear unabhängig und die 3 Vektoren
[mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] sind
> linear abhängig???
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Lineare Unabhängigkeit ist für Mengen definiert. Lineare Abhängigkeit genauso.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 11.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Wie kann ich beweisen, dass ein Element (vr+1) einer lin.abh. Menge Element von Spann [mm] \{v1,...,vr \} [/mm] ist?
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Also du weißt, dass [mm] \{v_1,...,v_r\} [/mm] linear unabhängig ist. D.h.
für [mm] \lambda_i\in{}K, [/mm] i=1,...,r mit [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_i=0,i=1,...,r.
[/mm]
[mm] \{v_1,...,v_r,v_{r+1}\} [/mm] ist linear abhängig, also gibt es [mm] \mu_i\in{}K,i=1,...,r+1, [/mm] wobei für mindestens ein i [mm] \mu_i\not=0, [/mm] so dass
[mm] \mu_1v_1+...+\mu_rv_r+\mu_{r+1}v_{r+1}=0 [/mm]
Was gilt für [mm] v_1,...,v_r, [/mm] wenn [mm] \mu_{r+1}=0?
[/mm]
Falls [mm] \mu_{r+1}\not=0, [/mm] kannst du auf beiden Seiten [mm] \mu_{r+1}v_{r+1} [/mm] subtrahieren und beide Seiten durch [mm] (-1)\cdot{}\mu_{r+1} [/mm] dividieren. Was hast du dann bekommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 12.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
> Falls [mm]\mu_{r+1}\not=0,[/mm] kannst du auf beiden Seiten
> [mm]\mu_{r+1}v_{r+1}[/mm] subtrahieren und beide Seiten durch
> [mm](-1)\cdot{}\mu_{r+1}[/mm] dividieren. Was hast du dann >bekommen?
Hi,
ich habe 1=0 bekommen. Das ist ein Widerspruch. Aber wie ich den deuten soll weiß ich nicht.
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> > Falls [mm]\mu_{r+1}\not=0,[/mm] kannst du auf beiden Seiten
> > [mm]\mu_{r+1}v_{r+1}[/mm] subtrahieren und beide Seiten durch
> > [mm](-1)\cdot{}\mu_{r+1}[/mm] dividieren. Was hast du dann
> >bekommen?
>
> Hi,
>
> ich habe 1=0 bekommen. Das ist ein Widerspruch. Aber wie
> ich den deuten soll weiß ich nicht.
Vielleicht postest du mal deine Rechnung! Bei mir kommt da niergendwo 1=0 vor.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 12.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Du willst doch im 3. Gedankengang mit µr+1 = 0 auf folgendes hin:
µ1*v1+,...,+µr*vr=0 und damit [mm] \lambda [/mm] i= µ i wegen:
[mm] \lambda1*v1+,...,\lambdar*vr [/mm] = 0
Im 4. Gedankengang verstehe ich unter beiden Seiten:
[mm] \lambda 1*v1+,...,\lambda [/mm] r*vr =µ1*v1+...+µr*vr+µ[r+1]v[r+1]
Davon beidseitig -µ[r+1]*v[r+1] subtrahieren:
[mm] \lambda 1*v1+,...,\lambda [/mm] r*vr -µ[r+1]v[r+1] = µ1*v1+...+µr*vr
Beidseitig jeden Summanden durch (-1)*µ(r+1) dividieren:
[mm] (\lambda 1*v1)/(-1)*µ(r+1)+,...,(\lambda [/mm] r*vr)/(-1)*µ(r+1) +1 = (µ1*v1)/(-1)*µ(r+1)+...+(µr*vr)/(-1)*µ(r+1)
Mit
[mm] \lambda [/mm] i= µ i erhalte ich:
1=0.
Bitte entschulduige, dass ich nicht den Zeicheneditor verwende.
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> Du willst doch im 3. Gedankengang mit µr+1 = 0 auf
> folgendes hin:
> µ1*v1+,...,+µr*vr=0 und damit [mm]\lambda[/mm] i= µ i
Was soll denn die Variablenumbennenung??!! Wo kommen die [mm] \lambda [/mm] her?
Du solltest dir an der Stelle überlegen warum [mm] \mu_{r+1} [/mm] nicht 0 sein kann. Also einen Widerspruch finden, wenn [mm] \mu_{r+1}=0. [/mm] Dann kannst du im Folgenden [mm] \mu_{r+1}\not=0 [/mm] annehmen. Ansonsten darfst du ja auch nicht durch [mm] \mu_{r+1} [/mm] teilen.!
> Im 4. Gedankengang verstehe ich unter beiden Seiten:
> [mm]\lambda 1*v1+,...,\lambda[/mm] r*vr
> =µ1*v1+...+µr*vr+µ[r+1]v[r+1]
Ich meinte die Gleichung [mm] \mu_1v_1+...+\mu_{r+1}v_{r+1}=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 12.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich erhalte:
- [mm] (\nu1/\nu(r+1))*v1-,...,-(\nu r/\nu(r+1))*vr [/mm] = 0
Wie muß ich den Ausdruck deuten?
Übrigens: das [mm] \lambda [/mm] habe ich benutzt, weil Du damit im 1. Gedankengang von den Vekroren {v1,...,vr} die lineare Unabhänigkeit nachgewiesen hast.
Dann habe ich für [mm] \lambda \nu [/mm] gesetzt. Jetzt sehe ich, dass [mm] \lambdai [/mm] = 0,
aber [mm] \nu [/mm] i [mm] \in [/mm] K. Damit war meine Rechnung falsch.
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> Übrigens: das [mm]\lambda[/mm] habe ich benutzt, weil Du damit im 1.
> Gedankengang von den Vekroren {v1,...,vr} die lineare
> Unabhänigkeit nachgewiesen hast.
Schon klar, aber die [mm] \lambda [/mm] waren allgemeine Variablen. Wenn du die Gleichung [mm] \mu_1v_1+...+\mu_rv_r=0 [/mm] hast folgt daraus einfach [mm] \mu_1=...=\mu_r=0
[/mm]
(so jetzt müsste dir hier ein Widerspruch auffallen, so dass du zeigen kannst [mm] \mu_{r+1}\not=0). [/mm] Es macht keinen Sinn [mm] \mu [/mm] in [mm] \lambda [/mm] umzubenennen, schließlich ist es schnuppe, ob die Variablen nun [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu [/mm] heißen.
> Dann habe ich für [mm]\lambda \nu[/mm] gesetzt.
Noch ne Umbenennung??!!
> Jetzt sehe ich,
> dass [mm]\lambdai[/mm] = 0,
> aber [mm]\nu[/mm] i [mm]\in[/mm] K. Damit war meine Rechnung falsch.
>
Wieso? 0 ist doch auch in K.
> Ich erhalte:
>
> - [mm](\nu1/\nu(r+1))*v1-,...,-(\nu r/\nu(r+1))*vr[/mm] = 0
>
Wo ist das [mm] v_{r+1} [/mm] hin?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Di 13.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich habe meine Rechnung noch einmal überprüft:
Die letzte Zeile muss natürlich lauten: µ(r+1)=0
Darf ich das Ergebnis wie folgt deuten: Damit ist auch µ(r+1)*v(r+1)=0
Das ist aber ein Merkmal für lin. Unabhänigkeit.
Aber was hat dasfür Konsequenzen für Spann {v1,...,vr}? Ist damit gezeigt, dass v(r+1) auch in {v1,...,vr,v(r+1)} liegt ?
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>
> Ich habe meine Rechnung noch einmal überprüft:
>
> Die letzte Zeile muss natürlich lauten: µ(r+1)=0
>
Da ist irgendwas falsch. Schreib am Besten deine Rechnung mal ausfuehrlich mit allen Schritten, Schlussfolgerungen und gefundenen Widerspruechen auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Di 13.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
µ1*v1+...+µr*vr = µ1*v1+....µr*vr+µ(r+1)*v(r+1)
_____________
Beiderseitig -µ(r+1)*v(r+1) subtrahiert
µ1*v1+...+µr*vr -µ(r+1)*v(r+1)= µ1*v1+....µr*vr
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Beiderseitig Division durch -(1)*µ(r+1)
(µ1*v1)/(-(1)*µ(r+1))+...+(µr*vr)/(-(1)*µ(r+1)) -(µ(r+1)*v(r+1))/(-(1)*µ(r+1))= (µ1*v1)/(-(1)*µ(r+1))+....(µr*vr)/(-(1)*µ(r+1))
________
Ergebnis:
v(r+1) = 0
Stimmt das Ergebnis?
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> µ1*v1+...+µr*vr = µ1*v1+....µr*vr+µ(r+1)*v(r+1)
Gemeint war die Gleichung [mm] /mu_1v_1+...+mu_{r+1}v_{r+1}=0 [/mm] !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Di 13.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
µ1*v1+...+µr*vr+µ(r+1)*v(r+1)=0
_____________________
beiderseitige Subtrakltion -µ(r+1)*v(r+1) liefert:
µ1*v1+...+µr*vr=0
____________________
beiderseitige Division durch (-1)*µ(r+1) liefert:
-((µ1/µ(r+1))*v1-.....-((µr/µ(r+1))*vr=0
__________________
Willst Du das sehen?
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> µ1*v1+...+µr*vr+µ(r+1)*v(r+1)=0
> _____________________
> beiderseitige Subtrakltion -µ(r+1)*v(r+1) liefert:
>
> µ1*v1+...+µr*vr=0
Nein, du musst auf BEIDEN Seiten [mm] \mu_{r+1}v_{r+1} [/mm] abziehen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Di 13.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
-((µ1/µ(r+1))*v1-...-((µr/µ(r+1))*vr= v(r+1)
Das war eine schwere Geburt. Bitte entschuldige!!!
Wie ist das Ergebnis nun zu deuten? Alle µi sind ja vorraussetzungsgemäß von 0 verschieden.
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> -((µ1/µ(r+1))*v1-...-((µr/µ(r+1))*vr= v(r+1)
>
>
> Alle µi sind ja vorraussetzungsgemäß von 0 verschieden.
Nein, das stimmt nicht. [mm] \mu_1,..,\mu_{r+1} [/mm] waren so gewählt,
dass mindestens eines der [mm] \mu_i\not=0. [/mm] Es müssen aber nicht alle [mm] \not=0 [/mm] sein.
So, falls du den Widerspruch, der sich aus der Annahme [mm] \mu_{r+1}=0 [/mm] ergibt, inzwischen gefunden hast, hast du die Gleichung
[mm] v_{r+1}=-\frac{µ_1}{µ_{r+1}}v_1-...-\frac{µ_r}{µ_{r+1}}v_r [/mm] erhalten
und wolltest zeigen, dass [mm] v_{r+1}\in{}span(v_1,...,v_r).
[/mm]
Was muss gelten, damit [mm] v_{r+1}\in{}span(v_1,...,v_r)?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:58 Mi 14.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Nach meiner Meinung muß gelten:
µ1= µ(r+1) , µ2= µ(r+1),....µr=µ(r+1) damit v(r+1) [mm] \in [/mm] span{v1,...vr}.
Stimmt das Ergebnis?
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Mmh, schau dir noch mal an wie der Spann definiert ist:
[mm] span(v_1,...,v_r)=\{v\in{}V, \exists \lambda_1,...,\lambda_r\in{}K: v=\lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r\}
[/mm]
Das heißt, aus
[mm] v_{r+1}=-\frac{µ_1}{µ_{r+1}}v_1-...-\frac{µ_r}{µ_{r+1}}v_r
[/mm]
folgt [mm] v_{r+1}\in{}span(v_1,...,v_r), [/mm] da [mm] -\frac{µ_i}{µ_{r+1}}\in{}K, \forall i\in\{1,...,r\}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mi 14.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi
Baskolli, ich bedanke mich ganz herzlich für Deine Hilfe.
Kannst Du mich bei der Aufg. b) auch noch mal ein bisschen an die Hand nehmen?
{v1,..vn} ist lin. unabhänig.
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{v= a1*v1+..+an*vn} ist meiner Meinung nach auch noch unabhänig wegen ai [mm] \in [/mm] K.
___________
Stimmt meine Überlegung bis hierher?
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> {v1,..vn} ist lin. unabhänig.
> ________
> {v= a1*v1+..+an*vn} ist meiner Meinung nach auch noch
> unabhänig wegen ai [mm]\in[/mm] K.
> ___________
Eine Menge mit nur einem Element ist linear unabhängig, wenn es sich nicht um die Menge mit der Null handelt. D.h. [mm] \{v\} [/mm] ist linear unabhängig, wenn mindestens eines der [mm] a_i\not=0 [/mm] (da [mm] \{v_1,...,v_n\} [/mm] linear unabhängig, ist dann [mm] v\not=0)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mi 14.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
Wenn ich die Differenz nur von v1-v bilde erhalte ich:
v1-(a1*v1) -a2*v2-...-an*vn =
v1*(1-a1) -a2*v2-...-an*vn
____________________
Wenn ich die Differenz nur von v2-v bilde erhalte ich:
-a1*v1+[v2-(a2*v2)] -a3*v3-...-an*vn =
-a1*v1 + v2*(1-a2) -a3*v3-...-an*vn
____________________
Ich kann nicht erkennen, dass a1+...+an=1 für lin.Abhänigkeit gelten soll. Gib mir bitte einen Tipp.
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> Hi,
>
> Wenn ich die Differenz nur von v1-v bilde erhalte ich:
> v1-(a1*v1) -a2*v2-...-an*vn =
> v1*(1-a1) -a2*v2-...-an*vn
> ____________________
>
> Wenn ich die Differenz nur von v2-v bilde erhalte ich:
> -a1*v1+[v2-(a2*v2)] -a3*v3-...-an*vn =
> -a1*v1 + v2*(1-a2) -a3*v3-...-an*vn
> ____________________
>
> Ich kann nicht erkennen, dass a1+...+an=1 für
> lin.Abhänigkeit gelten soll. Gib mir bitte einen Tipp.
>
>
Ich glaub, wenn man die Differenzen ausrechnet kommt man nicht weiter.
Du musst ja 2 Richtungen zeigen:
[mm] "\Rightarrow" \{v_1-v,...,v_n-v\} [/mm] linear abhängig [mm] \Rightarrow a_1+...+a_n=1
[/mm]
Tip hierzu: Wähle [mm] \lambda_1,...,\lambda_n\in{}K [/mm] wobei nicht alle [mm] \lambda_i=0, [/mm] so dass [mm] \lambda_1(v_1-v)+...+\lambda_n(v_n-v)=0 [/mm] (die gibt es da die Menge linear abhängig ist)
Forme nun diese Gleichung so um, dass auf der einen Seite v steht und auf der anderen Seite eine Linearkombination der [mm] v_1. [/mm] Dadurch erhälst du deine [mm] a_i [/mm] und musst sie nur noch alle addieren und schauen, dass da 1 rauskommt.
[mm] "\Leftarrow"{} a_1+...+a_n=1 \Rightarrow \{v_1-v,...,v_n-v\} [/mm] linear abhängig
Tip hierzu: Berechne mal [mm] a_1(v_1-v)+...+a_n(v_n-v) [/mm] und schau was rauskommt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 14.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
> Forme nun diese Gleichung so um, dass auf der einen Seite
> v steht und auf der anderen Seite eine Linearkombination
> der [mm]v_1.[/mm] Dadurch erhälst du deine [mm]a_i[/mm] und musst sie
> nur noch alle addieren und schauen, dass da 1 rauskommt.
Ich erhalte:
v= [mm] (\lambda 1*v1+...+\lambda n*vn)/(\lambda 1+...+\lambda [/mm] n)
____________________________
Wenn ich links vom Gleichheitszeichen a1*v1+...+an*vn statt v schreibe bekomme ich durch Koeffizentenvergleich der v1,...,vn:
a1= [mm] (\lambda1)/(\lambda 1+..+\lambda [/mm] n)
[mm] a2=(\lambda2)/(.....s.o. [/mm] ....................)
.
.
.
[mm] an=(\lambda [/mm] n)/(.......... s.o ................)
_________________
Wie ich jetzt zeigen kann dass Summe a1+a2+...an=1 ist weiß ich nicht.
Hast Du noch ein gute Idee?
Besten Dank im Voraus, baskolii
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> > Forme nun diese Gleichung so um, dass auf der einen Seite
> > v steht und auf der anderen Seite eine Linearkombination
> > der [mm]v_1.[/mm] Dadurch erhälst du deine [mm]a_i[/mm] und musst sie
> > nur noch alle addieren und schauen, dass da 1 rauskommt.
>
> Ich erhalte:
> v= [mm](\lambda 1*v1+...+\lambda n*vn)/(\lambda 1+...+\lambda[/mm]
> n)
> ____________________________
>
> Wenn ich links vom Gleichheitszeichen a1*v1+...+an*vn
> statt v schreibe bekomme ich durch Koeffizentenvergleich
> der v1,...,vn:
>
> a1= [mm](\lambda1)/(\lambda 1+..+\lambda[/mm] n)
>
> [mm]a2=(\lambda2)/(.....s.o.[/mm] ....................)
> .
> .
> .
> [mm]an=(\lambda[/mm] n)/(.......... s.o ................)
> _________________
>
> Wie ich jetzt zeigen kann dass Summe a1+a2+...an=1 ist weiß
> ich nicht.
Du musst einfach nur die Summe der [mm] a_i [/mm] bilden.
Also [mm] a_1+...+a_n [/mm] (mit den [mm] a_i [/mm] die du oben berechnet hast)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 14.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
schau dir mal bitte meine Mitteilung an. Genau so habe ich das gemacht.
Soooooooooo, nun noch den Umkehrschluß!
Du schreibst weiter oben:
a1(v1-v)+...+an(vn-v)
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Wenn ich jetzt für v=a1*v1+...+an*vn einsetze, erhalte und alles ausmultiplizere erhalte ich quadratische Glieder die sich gegenseitig nicht wegheben.
Oder mache ich wieder etwas falsch????
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> Hi,
>
> schau dir mal bitte meine Mitteilung an. Genau so habe ich
> das gemacht.
Ja, nur noch ordentlich aufschreiben.
>
> Soooooooooo, nun noch den Umkehrschluß!
> Du schreibst weiter oben:
>
> a1(v1-v)+...+an(vn-v)
> ________
> Wenn ich jetzt für v=a1*v1+...+an*vn einsetze, erhalte
> und alles ausmultiplizere erhalte ich quadratische Glieder
> die sich gegenseitig nicht wegheben.
> Oder mache ich wieder etwas falsch????
>
Setz mal für v nicht [mm] a_1v_1+...+a_nv_n [/mm] ein, sondern multiplizier erstmal alles aus und teil es in zwei Summen auf, so dass du aus einer der Summen v ausklammern kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 14.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich erhalte:
v=(a1*v1+...+an*vn)/a1+...+an
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Da weiter oben gezeigt wurde dass a1+.....+an=1 erhalte ich:
v=(a1*v1+...+an*vn)
Ist damit die lineare Abhänigkeit von (v1-v),....,(vn-v) gezeigt für a1+...+an=1 ???
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Wenn ja, dann wäre das goßartig!!!
Ich bedanke mich ganz herzlich bei Dir, baskolii
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Du musst das ganze nur ordentlich aufschreiben:
[mm] a_1(v_1-v)+...+a_n(v_n-v)
[/mm]
[mm] =a_1v_1+...+a_nv_n-(a_1+...+a_n)v
[/mm]
[mm] =a_1v_1+...+a_nv_n-v
[/mm]
=v-v=0
Da [mm] a_1+...+a_n=1 [/mm] ist mindestens eines der [mm] a_i\not=0 [/mm] und damit ist
[mm] \{v_1-v,...,v_n-v\} [/mm] linear abhängig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mi 14.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich verstehe nicht, warum ich in Aufgabe c) zeigen muß daß:
1.) v
2.) phi(v),
3.) phi²(v)
.
.
n.) phi^(n-1)(v)
linear unabhänig sind. Das wären ja n-Beweise!!!!! Ich denke wieder einmal völlig fasch, stimmt´s ???
Wie gehe ich an das Problem heran??
edit (mathemaduenn): Doppelposting zusammengefügt
Die Frage lautet bei c)
"V ist ein Vektorraum über K. Zu zeigen ist:
Es sind [mm] \varphi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung und v [mm] \in [/mm] V. Es sei
[mm] \varphi^n(v)=\varphi [/mm] o...o [mm] \varphi(v)=0 [/mm] mit n Faktoren [mm] \varphi [/mm] und [mm] \varphi^n-1(v) \not=0 [/mm] für n [mm] \ge1.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass : v, [mm] \varphi(v),....\varphi^{n-1}(v) [/mm] linear unabhänig sind."
Ich verstehe nicht:
1. Warum muß ich zeigen, dass linear unabhängig sind:
1.1) v
1.2) [mm] \varphi(v)
[/mm]
.
.
1.n) [mm] \varphi^{n-1}(v) [/mm]
2. Wie ich die lineare Unabhängigkeit zeigen kann.
Kannst du mich noch einmal "an die Leine" nehmen und mir den Weg weisen ?????
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> Ich verstehe nicht, warum ich in Aufgabe c) zeigen muß
> daß:
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> 1.) v
> 2.) phi(v),
> 3.) phi²(v)
> .
> .
> n.) phi^(n-1)(v)
>
> linear unabhänig sind. Das wären ja n-Beweise!!!!!
Nein, du hast ein festes n gegeben, so dass [mm] \phi^{n-1}(v)\not=0 [/mm] und [mm] \phi^n(v)=0. [/mm] Jetzt sollst du zeigen, dass die Menge [mm] \{v,\phi(v),\phi^2(v),...,\phi^{n-1}(v)\} [/mm] linear unabhängig ist.
Das heißt, du musst wieder zeigen:
für [mm] \lambda_1,...,\lambda_n \inK [/mm] mit [mm] \lambda_1v+...+\lambda_n\phi^{n-1}(v)=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_1=...=\lambda_n=0.
[/mm]
Wende mal [mm] \phi [/mm] auf beide Seiten der Gleichung [mm] \lambda_1v+...+\lambda_n\phi^{n-1}(v)=0 [/mm] an.
Kriegst du dann vielleicht eine Idee, wie du das zeigen kannst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mi 14.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich glaube ich habe die Lösung:
[mm] (\lambda1)/(\lambda1+..+\lambda [/mm] n) + [mm] (\lambda2)/ [/mm] gleicher Nenner
= [mm] (\lambda1+\lambda2+....+\lambdan)\Nenner
[/mm]
=1
__________________
Damit muß auch gelten:
a1+a2+..+an=1
________
Ist das so richtig?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:58 So 11.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi Baskolii,
ich wollte Dich mit meiner Frage nicht verärgern. Besten Dank für Deine Hilfe. Ich habe mit der Lin. Algebra erhebliche Probleme. Die Analysis ist mir viel leichter gefallen!
Ich sitze das ganze Wochenende und der Erfolg ist nicht sonderlich groß.
Ich finde einfach keinen Einstieg. Hast Du eine Idee?
Gruß Didi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Mo 12.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi Baskolii,
besten Dank für den Tipp.
Bis später zur Aufg b.
Didi
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