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Vektorraum auf neuen Körper: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 So 08.01.2017
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Seien K, L Körper mit K [mm] \subseteq [/mm] L. Weiter sein V ein L-Vektorraum. Zu zeigen ist nun:
(1) L und V sind K-Vektorräume.
(2) Sei [mm] \{v_{1},...,v_{m}\} [/mm] eine Basis von V als L-Vektorraum und [mm] \{a_{1},...,a_{n}\} [/mm] eine Basis von L als K-Vektorraum. Dann ist [mm] \{a_{i}v_{j}:i \in \IN_{n}, j \in \IN_{m}\} [/mm] eine Basis von V als K-Vektorraum und [mm] dim_{K}(V)=dim_{K}(L)*dim_{L}(V). [/mm]

Guten Tag!

Ich habe Schwierigkeiten, die beiden oben stehenden Aufgaben zu lösen.

Zu (1): Wir wissen aus der Aufgabenstellung, das V ein L-Vektorraum ist. Da K eine Teilmenge von L ist, muss ich nun nachweisen, dass V als ein Vektorraum über K die Vektorraumaxiome erfüllt. Doch wie stelle ich das an? Ist es möglich, einen Homomorphismus aufzustellen, um eine Beziehung zwischen den beiden Vektorräumen herzustellen? Andernfalls wüsste ich nicht, wie ich die Elemente aus dem L-Vektorraum mit denen aus dem K-Vektorraum in Verbindung bringen könnte.

Zu (2) habe ich bisher noch keine Idee. Möglicherweise kann mir jemand einen Tipp geben, womit genau ich mich noch einmal auseinandersetzen sollte.

Für jegliche Hilfestellungen bin ich äußerst dankbar!

Beste Grüße und einen angenehmen Sonntag!
Mathe_Thommy

        
Bezug
Vektorraum auf neuen Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 So 08.01.2017
Autor: hippias

Beide Aufgaben kannst Du lösen, indem Du einfach die Bedingungen aus den jeweiligen Definitionen nachrechnest.

Für den ersten Teil beachte, dass die Addition der "Vektoren" aus $L$ die Körperaddition ist, ebenso ist die Skalarmultiplikation die Körpermultplikation von $L$. Damit sind die Vektorraumaxiome fast trivialerweise erfüllt.

Man müsste auch noch betonen, dass $K$ ein Körper bezüglich der Verknüpfungen des Oberkörpers $L$ ist; sonst ergibt die Aufgabenstellung keinen richtigen Sinn.



Bezug
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