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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Vektorraum beweisen
Vektorraum beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Vektorraum beweisen: Tipp für Lösung der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Mi 27.01.2016
Autor: Lola.Heide

Aufgabe
Sei L:={(x1,x2,x3,x4)∈ℝ4: x3+2*x4-x2=0}.

Zeigen Sie : (L,+,*) ist ein Vektorraum über ℝ, wobei + und * die übliche Vektoraddition bzw. die skalare Multiplikation für Elemente aus ℝ4 bezeichnen.

Sei L:={(x1,x2,x3,x4)∈ℝ4: x3+2*x4-x2=0}.

Zeigen Sie : (L,+,*) ist ein Vektorraum über ℝ, wobei + und * die übliche Vektoraddition bzw. die skalare Multiplikation für Elemente aus ℝ4 bezeichnen.


Ich weiß, dass ich hier die Gültigkeit der Axiome zeigen muss. Also zu zeigen ist:

V1) (L,+,*) ist ablesche Gruppe

V2) (a*b)*v=a*(b*v)

v3) 1*v=v

v4) (a+b)*v=(a*v)+(b*v)

V5) a*(v+w)= (a*v)+(a*w)

Nun weiß ich leider nicht wie ich die Vorschrift: x3+2*x4-x2=0 bei den Axiomen einbauen soll.

Ich würde mich über Hilfe freuen.

Danke im Vorraus

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.mathelounge.de/313275/zeigen-sie-das-l-ein-r-4-vektorraum-ist.]

        
Bezug
Vektorraum beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Mi 27.01.2016
Autor: leduart

Hallo
wie sieht denn ein Vektor in L allgemein aus? [mm] x_1 [/mm] frei wählbar =r
dann eine Bedingung, die du als [mm] x_2=x_3+2x_4 [/mm] umschreiben kannst also auch [mm] x_3,x_4 [/mm] frei wählen als s,t und [mm] x_2 [/mm] daraus bestimmen, oder [mm] x_2,x_3 [/mm] freiwählen , [mm] x_4 [/mm] bestimmen
Dann sind die Nachweise einfach.
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Vektorraum beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:15 Do 28.01.2016
Autor: fred97

[mm] \IR^4 [/mm] ist ein VR über [mm] \IR [/mm] und L ist eine Teilmenge von [mm] \IR^4. [/mm]

Wegen des Untervektorraumkriteriums ist nur zu zeigen:

1. 0 [mm] \in [/mm] L;

2. aus x,y [mm] \in [/mm] L und t [mm] \in \IR [/mm] folgt stets x+ty [mm] \in [/mm] L

FRED

Bezug
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