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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Vektorraum der Zahlenfolgen
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Vektorraum der Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 So 05.09.2004
Autor: Fry

Hallo !

Der Vektorraum der Zahlenfolgen enthält u.a. die Folgen (1),(n),(n²),(n³).
Man nennt diese Zahlenfolgen lineaer unabhängig, sofern die Gleichung r+sn+tn²+un³=0 für alle n [mm] \in [/mm] N nur für r=s=t=u=0 erfüllt.
Man soll zeigen,dass diese Zahlenfolgen lin. unab. sind. Meine Lösungsbuch schlägt dafür vor ein LGS aus vier Gleichung zu bilden,z.B. für n=1,2,3 und 4. Die entsprechende Matrix ergibt auch r=s=t=u=0, doch eigentlich hat man die Richtigkeit der Gleichung nur für 1<_n<_4 gezeigt.
Wenn sie für z.B. n=5 nicht gelten würde, was dann ? Man müsste doch so eine Art Untersuchung für alle n durchführen, oder sehe ich das falsch ?

Gruß
Fry

        
Bezug
Vektorraum der Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 So 05.09.2004
Autor: dieter

Hallo Fry!
> Hallo !
>  
> Der Vektorraum der Zahlenfolgen enthält u.a. die Folgen
> (1),(n),(n²),(n³).
>  Man nennt diese Zahlenfolgen lineaer unabhängig, sofern
> die Gleichung r+sn+tn²+un³=0 für alle n [mm]\in[/mm] N nur für
> r=s=t=u=0 erfüllt.
>  Man soll zeigen,dass diese Zahlenfolgen lin. unab. sind.
> Meine Lösungsbuch schlägt dafür vor ein LGS aus vier
> Gleichung zu bilden,z.B. für n=1,2,3 und 4. Die
> entsprechende Matrix ergibt auch r=s=t=u=0, doch eigentlich
> hat man die Richtigkeit der Gleichung nur für 1<_n<_4
> gezeigt.
>  Wenn sie für z.B. n=5 nicht gelten würde, was dann ? Man
> müsste doch so eine Art Untersuchung für alle n
> durchführen, oder sehe ich das falsch ?

Ja, du siehst das falsch: Die Gleichung r+sn+tn²+un³=0 muss für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] erfüllt sein. r=s=t=u=0 ist auf jeden Fall eine Lösung. Gibt es nun eine andere Lösung, so muss diese auf jeden Fall für n=1,2,3,4 gelten. Wenn du nun zeigst, dass es schon für n=1,2,3,4 keine Lösung (außer r=s=t=u=0) geben kann, kann es also erstrecht keine Lösung für geben, die für alle n gültig ist.

Gruß
Dieter

Bezug
                
Bezug
Vektorraum der Zahlenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 So 05.09.2004
Autor: Fry

Vielen Dank für die schnelle Antwort,
so habe das noch gar nicht gesehen. :-)

Gruß
Fry

Bezug
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