Vektorraum oder nicht? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 So 04.07.2004 | | Autor: | funky |
Hi!
Es geht um die Definition eines Vektorraumes (VR). Die Hauptbedingung für einen VR ist doch, dass
(1) [mm] u,v \in VR \Rightarrow (u+v) \in VR [/mm]
und
(2) [mm] u \in VR, \lambda \in K \Rightarrow (\lambda * v) \in VR [/mm] wobei [mm] K = \IR [/mm]
Daraus folgere ich, dass jeder VR ein Nullelement enthält, das man z.B. mit [mm] \lambda = 0 [/mm] erzeugen kann. Weiter wäre dann zu schließen, dass die Menge aller Funktionen mit der Periode [mm] 2\pi [/mm] keinen VR bildet, da z.B. [mm] 0 * \sin x = 0 [/mm] und damit eine Funktion, welche die Bedingung der Periode [mm] 2\pi [/mm] nicht erfüllt.
Richtig? Wenn ja wird das eine Kurze Antwort, wenn nein habt ihr was zu tun! ;)
Gruß, Daniel
Das Kleingedruckte ;)
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo funky
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich glaube, dass du da gleich mehrere Irttümer begehst!
> Hi!
>
> Es geht um die Definition eines Vektorraumes (VR). Die
> Hauptbedingung für einen VR ist doch, dass
>
> (1) [mm]u,v \in VR \Rightarrow (u+v) \in VR[/mm]
> und
> (2) [mm]u \in VR, \lambda \in K \Rightarrow (\lambda * v) \in VR[/mm]
> wobei [mm]K = \IR[/mm]
>
> Daraus folgere ich, dass jeder VR ein Nullelement enthält,
Irrtum Nr. 1)
Es steht nirgends geschrieben, dass der Körper K die reellen Zahlen sein müssen! Es darf ein beliebiger Körper sein!
Irrtum Nr. 2)
Es ist zwar richtig, dass jeder Vektorraum ein (eindeutig bestimmtes) Nullelement enthält, aber deine Begründung dazu ist völlig falsch!
Der Vektorraum enthält ein Nullelement, weil er selber eine additiv geschriebene, kommutative Gruppe ist!
> das man z.B. mit [mm]\lambda = 0[/mm] erzeugen kann. Weiter wäre
> dann zu schließen, dass die Menge aller Funktionen mit der
> Periode [mm]2\pi[/mm] keinen VR bildet, da z.B. [mm]0 * \sin x = 0[/mm] und
> damit eine Funktion, welche die Bedingung der Periode [mm]2\pi[/mm]
> nicht erfüllt.
>
Irrtum Nr. 3)
Du setzt Periode mit Fundamentalperiode gleich!
Eine auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] definierte Funktion heisst periodisch, wenn es eine Zahl [mm]p>0[/mm] gibt mit [mm]f(t)=f(t+p)[/mm] für alle [mm]t \in \mathbb{R}[/mm]. Mit p sind auch alle $n*p$, $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] Perioden. Ist $p$ die kleinste Periode von $f$, so heisst $p$ Fundamentalperiode.
>Richtig? Wenn ja wird das eine Kurze Antwortwenn nein,
> habt ihr was zu tun! ;)
>
Irrtum Nr. 4)
Nicht wir haben viel zu tun, sondern du. Nämlich: die Definitionen zu repetieren und ganz genau schauen, was damit jeweils gemeint ist. 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 05.07.2004 | | Autor: | funky |
Hi, erstmal danke für die schnelle Antwort!
> Irrtum Nr. 1)
> Es steht nirgends geschrieben, dass der Körper K die
> reellen Zahlen sein müssen! Es darf ein beliebiger Körper
> sein!
Ok, sorry, da hab ich mich etwas ungenau ausgedrückt. Ich wollte damit ausdrücken, dass ich das mal der Einfachheit halber annehme. Da hätte also vielleicht noch ein "z.B." dazugehört.
> Irrtum Nr. 2)
> Es ist zwar richtig, dass jeder Vektorraum ein (eindeutig
> bestimmtes) Nullelement enthält, aber deine Begründung dazu
> ist völlig falsch!
> Der Vektorraum enthält ein Nullelement, weil er selber
> eine additiv geschriebene, kommutative Gruppe ist!
Ich habe nicht geschrieben, dass aus diesem Grund jeder VR ein Nullelement enthält sondern, dass ich daraus schließe, dass jeder VR (aus welchem Grund auch immer) ein Nullelement enthalten muss.
> Irrtum Nr. 3)
>
> Du setzt Periode mit Fundamentalperiode gleich!
>
> Eine auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] definierte Funktion heisst
> periodisch, wenn es eine Zahl [mm]p>0[/mm] gibt mit [mm]f(t)=f(t+p)[/mm] für
> alle [mm]t \in \mathbb{R}[/mm]. Mit p sind auch alle [mm]n*p[/mm], [mm]n \in \mathbb{N}[/mm]
> Perioden. Ist [mm]p[/mm] die kleinste Periode von [mm]f[/mm], so heisst [mm]p[/mm]
> Fundamentalperiode.
Fundamentalperiode? Aha, kann mich nicht erinnern davon schon mal was gehört zu haben. Wieder was gelernt, aber dazu bin ich ja da ;) !
> Irrtum Nr. 4)
> Nicht wir haben viel zu tun, sondern du. Nämlich: die
> Definitionen zu repetieren und ganz genau schauen, was
> damit jeweils gemeint ist.
Naja, mehr Definition von VR als das in meiner ursprünglichen Frage angegebene hab ich leider nicht :(
Gruß, Daniel
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