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Vektorraum prüfen: korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:40 Sa 16.04.2016
Autor: fugit

Aufgabe
Welche der folgenden Mengen $M$  sind Vektorräume dem gegebenen Körper $K$ ? Geben sie für alle Vektorräume  jeweils Basen an.

1. $M= [mm] \IR_{\le 5}[X]:=\{p(x) \in \IR[x]|grad(p)\le5\} [/mm] $ und [mm] $K=\IR$ [/mm]
2. $M= [mm] \IR[X]$ [/mm] und [mm] $K=\IR$ [/mm]
3. $M= [mm] \IF_4^{2\times3}$ [/mm] und [mm] $K=\IF_4$ [/mm] der körper mit $4$ Elementen
4. M= [mm] \IZ [/mm] und [mm] K=\IQ [/mm]
5.$ M= [mm] \mathcal{P}(\{1,2,3,4\})$ [/mm] die potenzmenge der Menge  [mm] $\{1,2,3,4\}, [/mm] K= [mm] \IF_2$ [/mm] der körper mit $2$ Elementen und

$+: [mm] M\timesM \to [/mm] M , (X,Y) [mm] \mapsto [/mm] (X [mm] \cup [/mm] Y) [mm] \backslash [/mm] (X [mm] \cap [/mm] Y)$

sowie

$*: K [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M , [mm] 0\cdot{}X [/mm] = [mm] \emptyset,1\cdot{}X [/mm] = X [mm] \forall [/mm]  X [mm] \in [/mm] M$

Hinweis:Sie dürfen ohne Begründung hinnehmen,dass alle $K$ wirklich Körper sind. Sind keine Verknüpfungen geben,so sind die übliche Mult. und Add. gemeint.Denken sie daran,alle Aussagen ausreichend zu begründen.

Hi,

da wir mündlich über diese Aufgaben abgefragt werden(Zeitspanne 10min), bin ich unsicher ,wie ausführlich meine Begründung sein muss.




1. $M= [mm] \IR_{\le 5}[X]:=\{p(x) \in \IR[x]|grad(p)\le5\} [/mm] $ und [mm] $K=\IR$. [/mm]

ist abgeschlosen bzgl. der Addition

jedes polynom 5.grades addiert mit einem polynom 5.grades ist wieder en polynom 5.grades, da die Koeffizienten vor den einzelnen variablen addiert werden und die aus [mm] \IR [/mm] sind und [mm] \IR [/mm] abelsch bzgl. Addition ist ,ist [mm] \IR_{\le 5}[X] [/mm] abgeschl. bzgl. Addition.

Multi.
ich weis nicht,ob ich das hier nachrechnen muss oder ob die begründung reicht , dass die skalar aus [mm] \IR [/mm] sind und somit die skalarmultiplikation auf [mm] \IR_{\le 5}[X] [/mm] auch abgeschlossen.

Basis ist hier : [mm] x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 [/mm]

2. $M= [mm] \IR[X]$ [/mm] und [mm] $K=\IR$ [/mm]

Addition abgeschlossenheit ist hier genauso zu begründen ,dass die Koeffizienten vor den einzelnen variablen addiert werden und diese aus [mm] \IR [/mm] sind und [mm] \IR [/mm] abelsch bzgl. Addition ist ,ist [mm] \IR [/mm] [X] abgeschl. bzgl. Addition.

multi.: gleiche Begründung wie oben ,bin da ein bisschen Verzweifelt.

Basis : [mm] x^n+x^{n-1}+..+x+1 [/mm]

3. $M= [mm] \IF_4^{2\times3}$ [/mm] und [mm] $K=\IF_4$ [/mm] der körper mit $4$ Elementen

Addition

[mm] $\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2}&a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2}&a_{2,3} }$ [/mm]

wenn man jetzt $A= [mm] a_{i,j}, B=b_{i,j} 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] 2 , [mm] 1\le [/mm] j [mm] \le [/mm] 3$

$A+B$ ist jetzt eine Matrix ,wo man die einzelnen Einträge addiert und  da diese aus [mm] $\IF_4$ [/mm] ist es abgeschlossen bzgl. Addition.


skalarmulti:

hier hab ich keine ahnung..:/

Basis:

[mm] $\{\pmat{ 1 & 0&0 \\0&0&0},\pmat{ 0&1&0 \\0&0&0},\pmat{ 0&0&1\\0&0&0},\pmat{ 0&0&0 \\1&0&0},\pmat{ 0&0&0 \\0&1&0},\pmat{ 0&0&0 \\0&0&1}\}$ [/mm]


4. $M= [mm] \IZ$ [/mm] und [mm] $K=\IQ$ [/mm]

ist abgeschlossen bzgl. der Addition jedoch nicht die Skalarmultiplikation

ziehe: [mm] $\frac{3}{8} \in \IQ 2,1\in \IZ$ [/mm]

1.Distrutiv gesetzt

[mm] $\frac{3}{8}*(2+1)=\frac{3}{8}*2+\frac{3}{8}*1 =\frac{9}{8}$ [/mm] jedoch

[mm] $\frac{9}{8} \notin \IZ$ [/mm]


5. hab ich keine Ahnung...:/


bitte hilfe..:/

        
Bezug
Vektorraum prüfen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 18.04.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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