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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:09 Di 11.05.2010 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | Aufgabe 3.1:
Sei [mm] E_n [/mm] = [mm] \{ P= a_n x^n + a_n_-_1 x^n^-^1 + ... + a_1 x + a_0 | a_0 , a_1 , ... , a_n \in \IR \} [/mm] die Menge von allen Polynomen mit Grad höchstens n und reelle Koeffizienten ( n [mm] \in \IN [/mm] ).
a) man zeige, dass [mm] E_n [/mm] ein linearer Vektorraum ist.
b) man zeige, dass [mm] \{1 + x , x + x^2 , x^2 + x^3 , ... , x^n^-^1 + x^n , x^n \} [/mm] eine basis für [mm] E_n [/mm] ist.
c) Für P [mm] \in E_n [/mm] , P= [mm] a_n x^n [/mm] + [mm] a_n_-_1 x^n^-^1 [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] definieren wir P'= n [mm] a_n x^n [/mm] + (n-1) [mm] a_n_-_1 x^n^-^1 [/mm] + ... + [mm] 2a_2 [/mm] x + [mm] a_1
[/mm]
Sei phi: [mm] E_2 \to E_3 [/mm] die lineare Abbildung
[mm] P\mapsto [/mm] x P + [mm] x^2 [/mm] P'.
bestimmen Sie die darstellende Matrix von phi bezüglich der Basen:
1) [mm] \{1 , x , x^2\} [/mm] und [mm] \{1 , x , x^2 , x^3\}.
[/mm]
2) [mm] \{1 + x, x + x^2 , x^2\} [/mm] und [mm] \{1 + x , x + x^2 , x^2 + x^3 , x^3\}. [/mm] |
Halli Hallo, versuche gerade die Aufgabenreihe 3 zu lösen- steh leider ziemlich auf den Schlauch.
Bei der 3.1.a) Da müsste es doch reichen wenn man nachweist das die einzelnen Polynome durch (0/0) gehen- oder?
und bei der b) da komm ich zwar auf eine basis aber die wäre dann x, x +1, [mm] x^n^-^1 [/mm] , [mm] x^n^-^1. [/mm] Ich seh da schon dass es eine Verbindung zu der vorgegebenen Basis gibt- aber wie komme ich da hin?
und bei der c bin ich völlig am verzweifel:) vielleicht ist ja jemand von euch etwas weiter gekommen und kann mir einen Tip geben- hab bis jetzt immer alles alleine gelöst ... aber irgendwie ist bei mir diesmal noch kein Licht angegangen:)
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> Aufgabe 3.1:
> Sei [mm]E_n[/mm] = [mm]\{ P= a_n x^n + a_n_-_1 x^n^-^1 + ... + a_1 x + a_0 | a_0 , a_1 , ... , a_n \in \IR \}[/mm]
> die Menge von allen Polynomen mit Grad höchstens n und
> reelle Koeffizienten ( n [mm]\in \IN[/mm] ).
> a) man zeige, dass [mm]E_n[/mm] ein linearer Vektorraum ist.
> b) man zeige, dass [mm]\{1 + x , x + x^2 , x^2 + x^3 , ... , x^n^-^1 + x^n , x^n \}[/mm]
> eine basis für [mm]E_n[/mm] ist.
> c) Für P [mm]\in E_n[/mm] , P= [mm]a_n x^n[/mm] + [mm]a_n_-_1 x^n^-^1[/mm] + ... +
> [mm]a_1[/mm] x + [mm]a_0[/mm] definieren wir P'= n [mm]a_n x^n[/mm] + (n-1) [mm]a_n_-_1 x^n^-^1[/mm]
> + ... + [mm]2a_2[/mm] x + [mm]a_1[/mm]
> Sei phi: [mm]E_2 \to E_3[/mm] die lineare Abbildung
> [mm]P\mapsto[/mm] x P + [mm]x^2[/mm] P'.
> bestimmen Sie die darstellende Matrix von phi bezüglich
> der Basen:
> 1) [mm]\{1 , x , x^2\}[/mm] und [mm]\{1 , x , x^2 , x^3\}.[/mm]
> 2) [mm]\{1 + x, x + x^2 , x^2\}[/mm]
> und [mm]\{1 + x , x + x^2 , x^2 + x^3 , x^3\}.[/mm]
> Halli Hallo,
> versuche gerade die Aufgabenreihe 3 zu lösen- steh leider
> ziemlich auf den Schlauch.
> Bei der 3.1.a) Da müsste es doch reichen wenn man
> nachweist das die einzelnen Polynome durch (0/0) gehen-
> oder?
Hallo,
ich weiß gar nicht, was Du damit meinst...
[mm] P(0)=a_0, [/mm] und das ist doch nicht immer =0. (?)
Was Du zu tun hast, hängt davon ab, was bereits getan wurde.
Hattet Ihr bereits, daß die Polynome (beliebigen Grades) einen VR bilden?
Ich gehe davon aus.
Dann mußt Du für [mm] E_n [/mm] die Unterraumkriterien nachweisen, also zeigen, daß es ein Unterraum des Raumes der Polynome ist.
Wie lauten die Unterraumkriterien?
> und bei der b) da komm ich zwar auf eine basis aber die
> wäre dann x, x +1, [mm]x^n^-^1[/mm] , [mm]x^n^-^1.[/mm] Ich seh da schon
> dass es eine Verbindung zu der vorgegebenen Basis gibt-
> aber wie komme ich da hin?
Du mußt ja nicht auf eine Basis kommen, sondern Du sollst zeigen, daß die vorgegebene eine ist.
Vielleicht überlegst Du Dir erstmal eine sehr einfache Basis von [mm] E_n [/mm] und stellst die Dimension von [mm] E_n [/mm] fest.
Danach zählst Du nach, ob die Anzahl der Elemente in der vorgegebenen Menge paßt.
Dann mußt Du zeigen, daß diese Polynome (=Vektoren) linear unabhängig sind.
> und bei der c bin ich völlig am verzweifel:)
Die stellen wir erstmal noch ein Weilchen zurück, bis der Rest kalr ist.
Gruß v. Angela
vielleicht
> ist ja jemand von euch etwas weiter gekommen und kann mir
> einen Tip geben- hab bis jetzt immer alles alleine gelöst
> ... aber irgendwie ist bei mir diesmal noch kein Licht
> angegangen:)
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