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| Aufgabe | (a) Sei V der [mm] \Re [/mm] -Vektorraum der reellwertigen Funktionen auf [mm] \Re [/mm] . Man betrachte nun die lineare Abbildung [mm] \Phi [/mm] : V Sei V der [mm] \Re [/mm] -Vektorraum der reellwertigen Funktionen auf [mm] \Re [/mm] . Man betrachtet nun die lineare Abbildung [mm] \Phi [/mm] : V [mm] $\rightarrow$ [/mm] V, [mm] f$\rightarrow$ \Phi [/mm] (f) gegeben durch [mm] \Phi [/mm] (f)(x) = [mm] x*f(x),(x$\in$ \Re) [/mm] V, [mm] f$\rightarrow$ \Phi [/mm] (f) gegeben durch [mm] \Phi [/mm] (f)(x) = x*f(x),(x [mm] $\in$ \Re). [/mm] Bestimmen Sie Bild, Kern und alle Eigenwerte von [mm] \Phi, [/mm] sowie all deren Eigenräume.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie: Seien A und B zwei quadratische Matrizen über Q. Sind die Mengen der Eigenwerte für A und B gleich und nichtleer, so sind auch ihre Determinanten gleich.
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Zur a) muss ich sagen, dass ich eigentlich wenig oder nichts verstanden habe. Ich fasse mal kurz in eigenen Worten zusammen: Man bildet einen [mm] \Re-Vektorraum [/mm] V auf V ab. Die Abbildungsvorschrift lautet [mm] f$\rightarrow$\Phi(f) [/mm] und ist durch [mm] \Phi(f)(x)=x*f(x) [/mm] gegeben. Den letzten Teil kapiere ich von der Schreibweise nicht. Was stellt [mm] \Phi(f)(x) [/mm] dar? Ist das eine Verkettung, aber dafür fehlen doch Klammern. Kann mit der Aufgabe nichts anfangen.
Zur b): Bei dieser Aufgabe weiß ich schon eher was zu tun ist. Wollte erstmal ein paar nxn-Matrixen suchen, die die gleiche Menge Eigenwerte für A und B haben und ihre Determinanten berechnen. Und dann sozusagen durch Versuchen eine Meinung darüber bilden, ob man die Aussage beweisen kann oder ob sie vielleicht sogar zufällig auf Anhieb widerlegt werden kann. Hier würde ein Tipp helfen, wie man Matrizen mit selben Eigenwerten findet.
Freue mich über jede Antwort
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> (a) Sei V der [mm]\Re[/mm] -Vektorraum der reellwertigen Funktionen
> auf [mm]\Re[/mm] . Man betrachte nun die lineare Abbildung [mm]\Phi[/mm] : V
> Sei V der [mm]\Re[/mm] -Vektorraum der reellwertigen Funktionen auf
> [mm]\Re[/mm] . Man betrachtet nun die lineare Abbildung [mm]\Phi[/mm] : V
> [mm]\rightarrow[/mm] V, f[mm]\rightarrow[/mm] [mm]\Phi[/mm] (f) gegeben durch [mm]\Phi[/mm]
> (f)(x) = x*f(x),(x[mm]\in[/mm] [mm]\Re)[/mm] V, f[mm]\rightarrow[/mm] [mm]\Phi[/mm] (f) gegeben
> durch [mm]\Phi[/mm] (f)(x) = x*f(x),(x [mm]\in[/mm] [mm]\Re).[/mm] Bestimmen Sie Bild,
> Kern und alle Eigenwerte von [mm]\Phi,[/mm] sowie all deren
> Eigenräume.
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> (b) Beweisen oder widerlegen Sie: Seien A und B zwei
> quadratische Matrizen über Q. Sind die Mengen der
> Eigenwerte für A und B gleich und nichtleer, so sind auch
> ihre Determinanten gleich.
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> Zur a) muss ich sagen, dass ich eigentlich wenig oder
> nichts verstanden habe. Ich fasse mal kurz in eigenen
> Worten zusammen: Man bildet einen [mm]\Re-Vektorraum[/mm] V auf V
> ab. Die Abbildungsvorschrift lautet f[mm]\rightarrow[/mm][mm] \Phi(f)[/mm]
> und ist durch [mm]\Phi(f)(x)=x*f(x)[/mm] gegeben. Den letzten Teil
> kapiere ich von der Schreibweise nicht. Was stellt
> [mm]\Phi(f)(x)[/mm] dar? Ist das eine Verkettung, aber dafür fehlen
> doch Klammern. Kann mit der Aufgabe nichts anfangen.
Die Abbildung [mm] \Phi [/mm] ordnet einer Funktion f eine Funktion g = [mm] \Phi(f) [/mm] wie folgt zu:
g(x) = xf(x)
[mm] \Phi [/mm] ist ein "Multiplikations- Operator"
FRED
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> Zur b): Bei dieser Aufgabe weiß ich schon eher was zu tun
> ist. Wollte erstmal ein paar nxn-Matrixen suchen, die die
> gleiche Menge Eigenwerte für A und B haben und ihre
> Determinanten berechnen. Und dann sozusagen durch Versuchen
> eine Meinung darüber bilden, ob man die Aussage beweisen
> kann oder ob sie vielleicht sogar zufällig auf Anhieb
> widerlegt werden kann. Hier würde ein Tipp helfen, wie man
> Matrizen mit selben Eigenwerten findet.
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> Freue mich über jede Antwort
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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perfekt, jetzt hats geklappt, danke
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