Vektorraumaxiom < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>
Zu zeigen ist, daß in jedem Vektorraum gilt:
(-1)*v= -v
Im Lösungsansatz steht:
Das Inverse eines Vektors v bezüglich der Vektoraddition, also -v ,ist dasselbe wie die skalare Multiplikation von v mit dem Inversen des Körperelements 1 bezüglich der Körperaddition.
Der Ausgangspunkt zur Lösung ist wieder das Distributivgesetz.
Diese Stelle verstehe ich nicht.
Ich habe leider i. S. Vektorraum-Axiome noch nicht viel verstanden. Deswegen bitte ich um Verständnis und Geduld.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Sa 07.09.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
wie immer führen wahrscheinlich viele Wege nach Rom. Ich würde so vorgehen:
[mm]0=0\cdot v=(1-1)\cdot v =1\cdot v+(-1)\cdot v=v+(-1)v=(-1)v+v[/mm]
1. Gleich: [mm]0\cdot v=(0+0)\cdot v = 0\cdot v+ 0\cdot v[/mm]. Addiere auf beiden Seiten das additive Inverse von [mm] $0\cdot [/mm] v$.
2. Gleich: Additives Inverses.
3. Gleich: Distributivität
4. Gleich: Einselement
5. Gleich Kommutativität
Aus der obigen Gleichung folgt: [mm]0=(-1)v+v[/mm]. Addiere auf beiden Seiten das additive Inverse von v, genannt -v. Es folgt die Behauptung.
Wie gesagt führen viele Wege zum Ziel. Das hier ist bestimmt nicht der einfachste. Probiers einfach mal aus 
MfG Ladon
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| Aufgabe | <br>Herzlichen Dank für Deine Antwort. In Deiner Antwort sind auch wieder Axiome aufgeführt, die ich sicher schon irgendwie gesehen und begriffen habe.
Worauf kommt es eigentlich bei solchen Beweisen an? Wovon hängt es ab, wie man diese Buchstaben hinschreibt?
Zwar habe ich alle die Aussagen dieser Gesetze begriffen, wenn es ums Rechnen mit reellen Zahlen geht; jedoch wenn ich diese Gesetze in der lin Alg sehe, begreife ich nichts mehr.
Mich irritiert auch, daß ich für manche Beweise fast eine Seite Platz benötige, andere beweisen solche Sätze als Dreizeiler.
Vielleicht habe ich zuviel mit Zahlen gerechnet, so daß ich mich schlecht auf die LinAlg umgewöhnen kann.
Was sind die Grundüberlegungen für solche Aufgaben? Wie würde ich in der Schule vorgehen, um diese Aufgaben zu lösen? Wäre es möglich die Aufgaben einfacher zu erklären?
Vielleicht versteht mich jemand?
Gibt es auf dieser Seite für LinAlg einen kostenlosen VorVorkurs auf dieser Internetseite oder im Internet für Schüler?
Für weitere Hilfe bin ich dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Di 10.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> <br>Herzlichen Dank für Deine Antwort. In Deiner Antwort
> sind auch wieder Axiome aufgeführt, die ich sicher schon
> irgendwie gesehen und begriffen habe.
>
> Worauf kommt es eigentlich bei solchen Beweisen an? Wovon
> hängt es ab, wie man diese Buchstaben hinschreibt?
>
> Zwar habe ich alle die Aussagen dieser Gesetze begriffen,
> wenn es ums Rechnen mit reellen Zahlen geht; jedoch wenn
> ich diese Gesetze in der lin Alg sehe, begreife ich nichts
> mehr.
>
> Mich irritiert auch, daß ich für manche Beweise fast eine
> Seite Platz benötige, andere beweisen solche Sätze als
> Dreizeiler.
>
> Vielleicht habe ich zuviel mit Zahlen gerechnet, so daß
> ich mich schlecht auf die LinAlg umgewöhnen kann.
>
>
> Was sind die Grundüberlegungen für solche Aufgaben? Wie
> würde ich in der Schule vorgehen, um diese Aufgaben zu
> lösen? Wäre es möglich die Aufgaben einfacher zu
> erklären?
>
> Vielleicht versteht mich jemand?
>
> Gibt es auf dieser Seite für LinAlg einen kostenlosen
> VorVorkurs auf dieser Internetseite oder im Internet für
> Schüler?
ich würde - erfahrungsgemäß - vielleicht erwarten, dass Mario Dir ein paar
dieser Fragen beantworten kann. (Er liest bestimmt mit - i hope so...  )
Zu der Aufgabe hier:
Wenn [mm] $(-1)*v=-v\,$ [/mm] für (jedes) $v [mm] \in [/mm] V$ gelten soll, so besagt das rein per Definitionem
des additiv Inversen [mm] $-v\,,$ [/mm] dass [mm] $(-1)*v+v=0\,$ [/mm] ("Nullvektor") gelten muss
(besser gesagt: das ist hier sowohl hinreichend als auch notwendig!) -
ebenso muss übrigens [mm] $v+(-1)*v=0\,$ [/mm] sein, aber das erübrigt sich wegen der
Kommutativität von [mm] $+\,.$
[/mm]
Du hast also [mm] $(-1)*v+v=0\,$ [/mm] nachzurechnen, und darfst dafür nur die angegebenen
Rechenregeln sowie bereits Bewiesenes verwenden, bzw. ggf. kannst Du
auch selbst "zusätzliche Hilfsmittel" (versuchen, zu) beweisen!
Wenn das getan ist, dann ist $(-1)*v$ additiv linksinvers zu [mm] $v\,.$ [/mm] Wenn man
entsprechendes Wissen hat, weiß man, dass additiv Linksinverse in einem
Vektorraum (allgemeiner: Gruppe) eindeutig sind. Aus der Kommutativität
(bzgl. +) folgt dann, dass $(-1)*v$ auch additiv rechtsinvers ist. Damit ist $(-1)*v$
additiv invers zu [mm] $v\,$ [/mm] und wegen der Eindeutigkeit kann man dann sagen,
dass [mm] $(-1)*v\,$ [/mm] "das zu $v$ additiven inverse Element" ist.
Daher:
$(-1)*v+v=(-1)*v+1*v$
darf man rechnen, weil $v=1*v$ durchweg gilt. Im Prinzip kannst Du den Rest
bei Ladon ablesen...
P.S. Ladon hat auch [mm] $\underbrace{0}_{\in K}*v=\underbrace{0}_{\in V}$ [/mm] begründet - das brauchst Du hier auch!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Di 10.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Feuerbach,
das sind sehr allgemeine Fragen. Daher kann ich nur auf Teilaspekte eingehen:
> In Deiner Antwort
> sind auch wieder Axiome aufgeführt, die ich sicher schon
> irgendwie gesehen und begriffen habe.
>
> Zwar habe ich alle die Aussagen dieser Gesetze begriffen,
> wenn es ums Rechnen mit reellen Zahlen geht; jedoch wenn
> ich diese Gesetze in der lin Alg sehe, begreife ich nichts
> mehr.
>
> Vielleicht habe ich zuviel mit Zahlen gerechnet, so daß
> ich mich schlecht auf die LinAlg umgewöhnen kann.
Du solltest dich schleunigst davon verabschieden, an reelle Zahlen zu denken, wenn niemand von reellen Zahlen redet!
> Worauf kommt es eigentlich bei solchen Beweisen an?
Logisch zu begründen, warum eine Aussage wahr ist.
> Wovon
> hängt es ab, wie man diese Buchstaben hinschreibt?
Es geht nicht darum, einzelne Buchstaben hinzuschreiben, sondern sich eine Begründung zu überlegen und diese für andere verständlich darzulegen.
> Wie
> würde ich in der Schule vorgehen, um diese Aufgaben zu
> lösen?
Diese Aufgabe (oder besser gesagt schon die Definition eines Vektorraumes) übersteigt das übliche Schulniveau.
> Mich irritiert auch, daß ich für manche Beweise fast eine
> Seite Platz benötige, andere beweisen solche Sätze als
> Dreizeiler.
Das kann natürlich daran liegen, dass dein Vorgehen etwas umständlicher ist. Es kann aber auch daran liegen, dass du detailliertere Begründungen lieferst als die Dreizeiler-Autoren. Je nachdem, ob man einen Beweis nur kurz skizziert oder bis ins letzte Detail ausführlich aufschreibt, kann die Länge sich schon radikal unterscheiden.
> Was sind die Grundüberlegungen für solche Aufgaben?
1. Vorlesung gründlich nacharbeiten und insbesondere die Definition eines Vektorraumes verstehen. Es macht wenig Sinn, eine Aufgabe über Vektorräume zu bearbeiten, bevor man weiß, was ein Vektorraum ist.
- Woraus besteht ein Vektorraum?
- Was ist ein Vektor?
- Was bedeutet der Begriff "skalare Multiplikation"?
- Was bedeutet $-v$ für einen Vektor $v$?
2. Die Aufgabenstellung verstehen. Hier ist ein Vektor $v$ eines Vektorraumes gegeben. Zu zeigen ist $(-1)*v=-v$. Nun gilt es, die Bedeutung jedes einzelnen Zeichens in $(-1)*v=-v$ zu verstehen.
- Klammern werden wie in der Schule verwendet.
- Das Gleichheitszeichen bedeutet (wie in der Schule), dass rechts und links das gleiche Objekt steht.
- Was bedeutet $-v$?
- Was bezeichnet $*$ hier?
- Was ist mit $1$ gemeint?
- Was bedeutet $-1$?
3. Einen Lösungsweg suchen. Dazu hat Marcel einiges geschrieben.
4. Den Lösungsweg ordentlich aufschreiben.
Es macht keinen Sinn, einen dieser Schritte zu bearbeiten, ehe du alle vorherigen bearbeitet hast.
Viele Grüße
Tobias
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> > Vielleicht habe ich zuviel mit Zahlen gerechnet, so daß
> > ich mich schlecht auf die LinAlg umgewöhnen kann.
> Du solltest dich schleunigst davon verabschieden, an
> reelle Zahlen zu denken, wenn niemand von reellen Zahlen
> redet!
> [...]
> > Was sind die Grundüberlegungen für solche Aufgaben?
> 1. Vorlesung gründlich nacharbeiten und insbesondere die
> Definition eines Vektorraumes verstehen. Es macht wenig
> Sinn, eine Aufgabe über Vektorräume zu bearbeiten, bevor
> man nicht weiß, was ein Vektorraum ist.
> - Woraus besteht ein Vektorraum?
> - Was ist ein Vektor?
> - Was bedeutet der Begriff "skalare Multiplikation"?
> - Was bedeutet [mm]-v[/mm] für einen Vektor [mm]v[/mm]?
Hallo,
ich kann die Tips, die Du, Feuerbach, von tobit bekommst, nur unterstreichen.
Du solltest zunächst gar nicht viel denken und grübeln, sondern einfach mal die Definition für "Vektorraum" akzeptieren und lernen.
Du mußt auch gar nicht drüber philosophieren, was ein Vektor ist. Es ist ein Element eines Vektorraumes. Basta.
Der Versuch, Anschauung zu schaffen, schadet oftmals nur.
Mach es so, wie wenn man ein neues Spiel geschenkt bekommt:
man schaut sich die Spielfiguren an, das Spielbrett, und guckt, was sonst noch so im Kasten ist.
Dann liest man sich die Spielregeln durch, und fängt einfach mal an. Bei Ratlosigkeit hilft die Lektüre der Regeln - und nicht der Versuch, sich an bekannten Spielen orientieren zu wollen.
Wenn ich Schach spielen möchte, ist es völlig sinnlos, Vorgehensweisen des Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiels verwenden zu wollen, etwa zu würfeln,
und es ist sinnlos, Schach zu spielen, solange ich nicht weiß, welche Züge ich mit welcher Figur machen darf.
LG Angela
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| Aufgabe | <br>
Die Idee mit den Spielen finde ich gar nicht so schlecht. Ich glaube, wir müssen uns dann auf Monopoly (= Vektorrechnung) einigen.
Die Grundlagen der Vektorrechnung habe ich verstanden. Nur schaffe ich leider nicht den Übergang zur LinAlg (=Schach). Ich verstehe nicht, was die Vektorraumaxiome mit einer zitierten Textstelle zu tun haben.
Wozu benötige ich die kompletten Axiome, wenn ich 0 * v = 0 zeigen möchte. Diese Aufgabe gibt es auch in der Vektorgemetrie und habe ich dort auch nicht verstanden.
Der Trick könnte sein, daß ich einen Vektor mit Null multipliziere und dafür den Nullvektor erhalte, daß ich also aus dem Skalar Null einen Vektor, nämlich den Nullvektor, mache.
Das Inverse eines Vektors v bezüglich der Vektoraddition, also -v, ist dasselbe wie die skalare Multiplikation von mit dem Inversen des Körperelements 1 bzüglich der Körperaddition.
Ich verstehe nicht, was die Aufgabe
mit den ganzen Körperaxiomen zu tun hat. Vielleicht wollte der Satz nur aussagen: -v=(-1)*v ?
Die Aufgabe habe ich aus dem Lambacher-Schweizer 2010, einem Schulbuch. Ich habe auch schon versucht, weitere Bücher zu Rate zu ziehen (Gerhard Tischl, Lothar Papula). Leider konnte ich mit der weiterführenden Literatur keinen Erfolg erzielen.
Für weitere Hilfe und Anregungen bin ich dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 12.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Die Idee mit den Spielen finde ich gar nicht so
> schlecht. Ich glaube, wir müssen uns dann auf Monopoly (=
> Vektorrechnung) einigen.
> Die Grundlagen der Vektorrechnung habe ich verstanden. Nur
> schaffe ich leider nicht den Übergang zur LinAlg
> (=Schach).
Um im Bild zu bleiben: Wenn du Schach lernen willst, hilft es dir nicht weiter, an Monopoly zu denken. Stattdessen musst du dir die Schachregeln (Definition eines Vektorraumes) angucken.
> Ich verstehe nicht, was die Vektorraumaxiome mit
> einer zitierten Textstelle zu tun haben.
Auf welche Textstelle beziehst du dich?
> Wozu benötige ich die kompletten Axiome, wenn ich 0 * v =
> 0 zeigen möchte.
Du betrachtest also ein Element $v$ eines Vektorraumes und möchtest $0*v=0$ zeigen. Natürlich musst du dazu wissen, was ein Vektorraum ist. Von den Vektorraumaxiomen wirst du wahrscheinlich nicht alle, aber einen Teil benötigen.
> Diese Aufgabe gibt es auch in der
> Vektorgemetrie und habe ich dort auch nicht verstanden.
Siehe oben: Es macht wenig Sinn, Schach und Monopoly in Verbindung bringen zu wollen. Es sind zwei verschiedene Spiele.
> Der Trick könnte sein, daß ich einen Vektor mit Null
> multipliziere und dafür den Nullvektor erhalte, daß ich
> also aus dem Skalar Null einen Vektor, nämlich den
> Nullvektor, mache.
Du hast völlig Recht damit, dass in $0*v=0$ die linke $0$ für ein Element des Körpers (nämlich das neutrale Element der Körper-Addition) steht, während die rechte $0$ ein Element des Vektorraumes (nämlich das neutrale Element der Vektorraum-Addition; auch Nullvektor genannt) bezeichnet. Einen Trick kann ich hierin jedoch nicht erkennen. Diese Überlegung ist Teil von Schritt 2. (Verstehen der Aufgabenstellung) aus meiner vorherigen Antwort.
> Das Inverse eines Vektors v bezüglich der Vektoraddition,
> also -v, ist dasselbe wie die skalare Multiplikation von
> mit dem Inversen des Körperelements 1 bzüglich der
> Körperaddition.
>
> Ich verstehe nicht, was die Aufgabe
> mit den ganzen Körperaxiomen zu tun hat.
Wahrscheinlich wirst du nicht alle Körperaxiome benötigen. Aber du wirst z.B. schon verstehen müssen, was $1$ und $-1$ bedeuten.
> Vielleicht
> wollte der Satz nur aussagen: -v=(-1)*v ?
Ja, der Satz beschreibt in Worten, was die Aussage, dass für ein beliebiges Element $v$ eines Vektorraumes stets $-v=(-1)*v$ gilt, bedeutet. Der Satz erklärt insbesondere die Bedeutung der meisten Zeichen in $-v=(-1)*v$.
Da du irgendwie auf Kriegsfuß mit den Vektorraum-Axiomen zu stehen scheinst, schlage ich mal folgende kleine Übungen vor:
Seien $v$ und $w$ Elemente eines Vektorraumes.
Warum gilt $1*w=w$?
Warum gilt $v+1*w=w+v$?
Warum gilt $(v+v)+w=v+(w+v)$?
Warum gilt $(1+1)*(v+w)=(1+1)*v+(1+1)*w$?
Warum gilt $(1+1)*(v+v)=(v+v)+(v+v)$?
Am besten postest du mal die komplette Definition eines Vektorraumes, wie sie in deinem Buch formuliert ist. Dann kann man besser darauf eingehen.
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Hallo Feuerbach,
Zumeist empfiehlt es sich das Verständnis auf einfachste Materie aufzubauen.
Beginnen wir also von vorne...
Ich setze allerdings das Wissen : was ist eine Gruppe voraus.
Was ist ein Körper?
Ein Körper ist eine Menge K mit zwei inneren Verknüpfungen also:
für beides: K [mm] \times [/mm] K [mm] \to [/mm] K
+ :(x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y
* (x,y) [mm] \mapsto [/mm] xy
wobei folgendes Gültigkeit hat:
-) (K,+) ist eine Gruppe. Ihr neutrales Element sei 0.
-) Die Multiplikation ist kommutativ und assoziativ
-) Es gibt in K min. 1 Element , welches die Eigenschaft : 1.x = x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K\ {0} erfüllt.
-) Es gilt das Linksdistributivgesetz
-) Zu jedem x [mm] \in [/mm] K\ {0} gibt es min. ein l [mm] \in [/mm] K mit l*x = 1.
Nun: Was ist ein Vektorraum: (der einfache Zugang dürfte aus der Schule bekannt sein - aber hier allgemein.)
Definition:
Sei (K,+,*) ein Körper mit Nullelement 0 und Einselement 1. Sei (V,+) eine Gruppe und K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V :(x,a) [mm] \mapsto [/mm] xa eine Abbildung.
So wird V ein Vektorraum über K genannt , wenn [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K und alle a,b [mm] \in [/mm] V folgende Axiome erfüllt sind:
-) x(a + b) = (xa) + (xb)
-) (x+y)a = (xa) + (ya)
-) (xy)a = x(ya)
-) 1a = a.
Die Elemente von V werden Vektoren genannt. Das neutrale Element von V wird Nullvektor genannt. Die Elemente von K werden Skalare genannt.
Anschauungstechnisch sind nachstehende Dinge sehr klar. Ihre Herleitung kriegst du mit der Definition eines Vektorraums locker hin.
-) 0a = o [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] V. (o bezeichne den Nullv.)
-) (-1)a = -a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] V.
-) xo = o [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K
-) Ist x [mm] \in [/mm] K, a [mm] \in [/mm] V und xa = o so folgt x = 0 oder a = o.
-) a+b = b + a [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] V.
zeige doch zur Übung alle oben stehenden Gesetze, nachdem du dich mit den weiter oben befindlichen Def. vertraut gemacht hast - solltest du Verständnisfragen haben - stelle sie.
Beste Grüßte
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Do 12.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Die Idee mit den Spielen finde ich gar nicht so
> schlecht. Ich glaube, wir müssen uns dann auf Monopoly (=
> Vektorrechnung) einigen.
> Die Grundlagen der Vektorrechnung habe ich verstanden. Nur
> schaffe ich leider nicht den Übergang zur LinAlg
> (=Schach). Ich verstehe nicht, was die Vektorraumaxiome mit
> einer zitierten Textstelle zu tun haben.
> Wozu benötige ich die kompletten Axiome, wenn ich 0 * v =
> 0 zeigen möchte. Diese Aufgabe gibt es auch in der
> Vektorgemetrie und habe ich dort auch nicht verstanden.
>
> Der Trick könnte sein, daß ich einen Vektor mit Null
> multipliziere und dafür den Nullvektor erhalte, daß ich
> also aus dem Skalar Null einen Vektor, nämlich den
> Nullvektor, mache.
>
> Das Inverse eines Vektors v bezüglich der Vektoraddition,
> also -v, ist dasselbe wie die skalare Multiplikation von
> mit dem Inversen des Körperelements 1 bzüglich der
> Körperaddition.
>
> Ich verstehe nicht, was die Aufgabe
> mit den ganzen Körperaxiomen zu tun hat. Vielleicht
> wollte der Satz nur aussagen: -v=(-1)*v ?
>
> Die Aufgabe habe ich aus dem Lambacher-Schweizer 2010,
> einem Schulbuch. Ich habe auch schon versucht, weitere
> Bücher zu Rate zu ziehen (Gerhard Tischl, Lothar Papula).
> Leider konnte ich mit der weiterführenden Literatur keinen
> Erfolg erzielen.
ich empfehle nach wie vor, zumal es mir scheint, dass es bei Dir angebracht
ist, etwas mehr von der "Anschauung Abstand zu nehmen", das Buch
Bosch, Lineare Algebra.
Neben allem, was bisher gesagt wurde:
Wir wissen, dass in einem Körper [mm] $K\,$ [/mm] die Gleichung [mm] $0_K*x=0_K$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] K$
gilt. Das ist auch schon nicht trivial - wir halten sowas für trivial, weil wir gelehrt
wurden, dass doch [mm] $0_{\IR}*r=0_{\IR}$ [/mm] in unserem Körper [mm] $\IR$ [/mm] der reellen
Zahlen "selbstverständlich" ist.
Jetzt frage ich Dich: Kennst Du den Beweis von
[mm] $0_K*x=0_K$ [/mm] für jedes $x [mm] \in [/mm] K$? (Das [mm] $\cdot$ [/mm] hier ist übrigens ein anderes wie das, was
unten verwendet wird - hier könnten wir jetzt etwa auch [mm] $\odot$ [/mm] anstatt [mm] $\cdot$ [/mm] schreiben,
um spätere Verwechslungen zu vermeiden...)
Jetzt zum Vektorraum:
Dort gibt es eine skalare Multiplikation [mm] $\red{\,\cdot\,}\colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to V\,,$ [/mm] welche schon besagt:
[mm] $\cdot \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \ni [/mm] (k,v) [mm] \mapsto [/mm] *(k,v)=:k*v [mm] \in [/mm] V$ gilt für alle $(k,v) [mm] \in [/mm] K [mm] \times V\,.$
[/mm]
Alleine hier steckt schon drin: Wenn man einen Skalar $k [mm] \in [/mm] K$ hernimmt und diesen
an ein Element $v [mm] \in [/mm] V,$ also an einen Vektor aus dem Vektorraum [mm] $V\,,$ [/mm] multipliziert, im Zeichen:
man bildet das Element [mm] $\underbrace{k*v}_{:=\red{\,\cdot\,}(k,v)}\,,$ [/mm] so ist dieses Element $k*v=:w$ wieder in [mm] $V\,$ [/mm] gelegen:
$w [mm] \in V\,,$ [/mm] d.h. [mm] $w\,$ [/mm] ist ein Vektor des Vektorraums [mm] $V\,$ [/mm] (das heißt nur, dass [mm] $w\,$
[/mm]
ein Element von [mm] $V\,$ [/mm] ist - gehe weg von jeglicher "Anschauung", etwa mit
Pfeilen.)
Das ist eine Eigenschaft, die zu der Definition eines Vektorraums [mm] $V\,$ [/mm] über einem
Körper [mm] $K\,$ [/mm] gehört.
Nun folgendes: Man nehme nun das Nullelement aus [mm] $K\,,$ [/mm] nennen wir es [mm] $0_K,$ [/mm] her.
Nun nehmen wir irgendein $v [mm] \in [/mm] V$ her. Klar ist, dass wir schonmal [mm] $0_K \cdot [/mm] v$ hinschreiben
dürfen. Definieren wir mal [mm] $w:=0_K \cdot v\,.$
[/mm]
Rein durch die Axiome wissen wir bisher nur, dass $w [mm] \in [/mm] V$ sein wird. Wir fragen
uns nun: Ist denn [mm] $w=0_K \cdot [/mm] v$ "ein besonderer Vektor aus [mm] $V\,$"?
[/mm]
Nunja, es gilt
[mm] $w\;+_V\;w=(0_K \cdot v)\;+_V\;(0_K \cdot v)=(\*),$
[/mm]
und hier ist noch nichts passiert, außer, dass [mm] $w=0_K \cdot [/mm] v$ eingesetzt wurde ($+_V$ bezeichnet
die Vektoraddition
[mm] $+_V\colon [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \ni [/mm] (x,y) [mm] \;\;\;\mapsto\;\;\; +_V(x,y)=:\;\,x\;+_V\;y\;\, \in V\,.$)
[/mm]
und [mm] $(\*)$ [/mm] kann man umschreiben zu
[mm] $(\*)=(0_K\;+_K\;0_K) \cdot v=(\*\*)\,.$
[/mm]
(Was $+_K$ ist, ist nun klar, oder?)
Nun gilt aber insbesondere [mm] $0_K\;+_K\;0_K=0_K,$ [/mm] also können wir
[mm] $(\*\*)=0_K\cdot [/mm] v=w$
schreiben.
Das Element [mm] $w=0_K \cdot [/mm] v$ (wenn $v [mm] \in [/mm] V$ beliebig, aber fest, ist), erfüllt daher
$w [mm] \;+_V\;w=w\,.$
[/mm]
Addiere (gemeint ist die $+_V$-Operation) nun auf beiden Seiten der letzten Gleichung
das Element [mm] $-w\,$ [/mm] (bzgl. $+_V$ also das zu [mm] $w\,$ [/mm] inverse!) (hier ist es egal, ob es von links
oder von rechts addiert wird!), und es folgt, dass [mm] $w=0_V,$ [/mm] also der Nullvektor
aus [mm] $V\,,$ [/mm] sein muss.
Du siehst bei sowas also: Wir benutzen nur die Axiome, die bereits vorgegeben,
oder die Regeln, die bereits bekannt/bewiesen worden sind. Und wir benutzen
nichts, wo wir sagen würden: "Selbstverständlich ist das so, denn im realen
Leben ist es nun mal so, dass, wenn wir kein Mal ein [mm] $\pi$ [/mm] haben, wir auch nichts
haben; also ist [mm] $0*\pi=0\,$..." [/mm] oder sowas...
Es ist halt alles "ein wenig abstrakt(er)"...
P.S. Falls Du noch drankommst, eine Zeit lang gab es das Buch "Grundlagen
der linearen Algebra" von Gawronski sehr billig (3 Euro). So nach meinem
Gefühl wird dort versucht, ein wenig den Übergang "Schulmathematik ->
(Uni-) Mathematik" zu erleichtern. Man will also irgendwie eine Brücke
zwischen Schulmathe und (Hochschul-)Mathe bauen. Vielleicht wäre das
ein Werk, was Dir etwas mehr zusagt. Bosch ist zwar schon (ein wenig)
anschaulich, bleibt aber doch ein wenig "abstrakt".
Und, was ich auch immer wieder gerne empfehle:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Aglaskript/agla.pdf
Gruß,
Marcel
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