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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:27 Mo 10.05.2004 | | Autor: | kakerlman |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe und weiß aber nicht so recht wie ich sie lösen soll. Ich kenn mich mit Vektorräumen gar nicht aus und bin für jede Information dankbar.
Überprüfen Sie, ob [mm] V=\IR^2
[/mm]
mit der inneren Verknüpfung(a1, a2) [mm] \oplus [/mm] (b1, b2) := (a1+b1, a2+b2)
und der äußeren Verknüpfung [mm] \lambda [/mm](.) (a1, a2) := ([mm] \lambda [/mm]. a1, a2) einen Vektorraum bildet.
(Das (.) soll einen Kreis mit Punkt drinnen, ähnlich dem [mm] \oplus, [/mm] darstellen. Ich kenne dieses Zeichen nicht, aber ich glaube es heißt einfach nur MAL?!?!)
Falls ihr mir helfen könnt, vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
du musst die folgenden Vektorraumaxiome überprüfen:
(V1) [mm] $\oplus$ [/mm] ist assoziativ, d.h. für alle [mm]x,y,z \in \IR^2[/mm] gilt:
[mm](x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)[/mm]
(V2) [mm] $\oplus$ [/mm] ist kommutativ, d.h. für alle [mm]x,y \in \IR^2[/mm] gilt:
[mm]x \oplus y = y \oplus x[/mm].
(V3) Es gibt ein neutrales Element [mm]0 \in \IR^2[/mm] bezüglich [mm]\oplus[/mm], d.h. es gibt ein Element [mm]0 \in \IR^2[/mm] mit
[mm] 0 \oplus x = x[/mm] für alle [mm]x \in \IR^2[/mm].
(V4) Zu jedem [mm]x \in \IR^2[/mm] gibt es ein inverses Element [mm]-x \in \IR^2[/mm], so dass
[mm]x \oplus (-x) = 0[/mm].
Die Eigenschaften (V1) bis (V4) sagen aus, dass [mm](\IR^2,\oplus)[/mm] eine abelsche Gruppe ist. Da aber [mm]\oplus[/mm] die "normale" komponentenweise definierte Additon im [mm]\IR^2[/mm] ist, habt ihr das vermutlich in der Vorlesung bereits gezeigt. Ist das richtig? Ansonsten kannst du es ja selber schnell nachprüfen.
(V5) Es gilt:
[mm]1 \odot x = x[/mm] für alle [mm]x \in \IR^2[/mm].
(V6) Für alle [mm]\lambda,\mu \in \IR[/mm] und [mm]x \in \IR^2[/mm] gilt:
[mm]\lambda \odot (\mu \odot x) = (\lambda \cdot \mu) \odot x[/mm].
(V7) Es gilt das 1. Distributivgesetz:
[mm]\lambda \odot (x \oplus y) = (\lambda \odot x) \oplus (\lambda \odot y)[/mm]
für alle [mm]\lambda \in \IR[/mm] und alle [mm]x,y \in \IR^2[/mm].
(V8) Es gilt das 2. Distributivgesetz:
[mm](\lambda + \nu) \odot x = (\lambda \odot x) \oplus (\mu \odot x)[/mm]
für alle [mm]\lambda,\mu \in \IR[/mm] und alle [mm]x \in \IR^2[/mm].
Versuche nun bitte diese Axiome nachzuweisen (oder für mindestens eines der Axiome ein Gegenbeispiel zu finden) und melde dich wieder mit einem eigenen Vorschlag oder ganz konkreten Fragen. Wir helfen dir dann gerne weiter, wollen aber erst einmal ein eigenes Bemühen erkennen.
Liebe Grüße
Julius
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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe eine Frage, was bedeutet [mm] \odot [/mm] ? Wir haben dieses Zeichen noch nie verwendet.
Ich habe mal versucht die Axiome zu überprüfen, dabei habe ich einfach die Definition für innere bzw. äußere Verknüpfung in die Axiome eingesetzt. Also statt [mm]a+b \rightarrow a \oplus b[/mm] geschrieben.
Das sieht dann bei mir ungefähr so aus:
Assoziativgesetz:
[mm]a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c
\begin{pmatrix}
a1 \\
a2
\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}
b1 + c1 \\
b2 +c2
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
a1 + b1 \\
a2 +b2
\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}
c1\\
c2
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]
\rightarrow
\begin{pmatrix}
a1+b1+c1\\
a2+b2+c2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a1+b1+c1\\
a2+b2+c2
\end{pmatrix}
[/mm]
Meine letzte Frage, stimmt der Weg? Vielen Dank!
Nachtrag: bei dem Axiom: Existenz von Inversen Elementen bin ich auf einen Widerspruch gestoßen:
a+(-a)=0 -a=(-1).a, laut Def.: [mm]\begin{pmatrix}
-a1 \\
a2
\end{pmatrix}[/mm]
dann ergibt a+(-a) aber [mm] \begin{pmatrix}
a1-a1 \\
a2+a2
\end{pmatrix}[/mm], also [mm]\begin{pmatrix}
0 \\
a2*a2
\end{pmatrix} [/mm]
Somit handelt es sich hier nicht um einen Vektorraum. Stimmt's?
Vielen Dank! Das war mir echt eine Hilfe! Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Di 11.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kakerlman,
> Ich habe eine Frage, was bedeutet [mm] \odot [/mm] ? Wir haben dieses
> Zeichen noch nie verwendet.
Das Zeichen bzw. diese Verknüpfung hast du doch selbst definiert; es ist der Name der Abbildung
[mm] \begin{array}{llll}
\odot: & \IR \times V & \to & V \\
& (\lambda,(a_1,a_2)) & \mapsto & (\lambda*a_1,a_2)
\end{array} [/mm]
> Ich habe mal versucht die Axiome zu überprüfen, dabei habe
> ich einfach die Definition für innere bzw. äußere
> Verknüpfung in die Axiome eingesetzt. Also statt [mm]a+b \rightarrow a \oplus b[/mm]
> geschrieben.
Das verstehe ich nicht ganz, aber vielleicht meinst du doch das Richtige. In Julius' Vektorraumaxiomen taucht das "+" doch gar nicht auf, so dass es da nichts "anstatt" zu schreiben gibt.
> Das sieht dann bei mir ungefähr so aus:
>
> Assoziativgesetz:
>
> [mm]a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c
>
> \begin{pmatrix}
> a1 \\
> a2
> \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}
> b1 + c1 \\
> b2 +c2
> \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
> a1 + b1 \\
> a2 +b2
> \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}
> c1\\
> c2
> \end{pmatrix}
> [/mm]
>
> [mm]
> \rightarrow
> \begin{pmatrix}
> a1+b1+c1\\
> a2+b2+c2
> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
> a1+b1+c1\\
> a2+b2+c2
> \end{pmatrix}
> [/mm]
>
>
> Meine letzte Frage, stimmt der Weg? Vielen Dank!
Ja, das stimmt. Ist aber natürlich nur eines der zu überprüfenden Axiome.
> Nachtrag: bei dem Axiom: Existenz von Inversen Elementen
> bin ich auf einen Widerspruch gestoßen:
Das klingt gut...
> a+(-a)=0 -a=(-1).a, laut Def.: [mm]\begin{pmatrix}
> -a1 \\
> a2
> \end{pmatrix}[/mm]
Wieso ist denn $-a = [mm] (-1)\odot [/mm] a$? Das müßtest du noch zeigen, es folgt ja nicht direkt aus den Axiomen...
> dann ergibt a+(-a) aber
> [mm]\begin{pmatrix}
> a1-a1 \\
> a2+a2
> \end{pmatrix}[/mm], also [mm]\begin{pmatrix}
> 0 \\
> a2*a2
> \end{pmatrix}[/mm]
> Somit handelt es sich hier
> nicht um einen Vektorraum. Stimmt's?
Das stimmt, du hast Recht. Wenn du noch zeigst, warum $-a = [mm] (-1)\odot [/mm] a$, bin ich ganz zufrieden 
Viele Grüße,
Marc
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Ich könnte ja sagen, dass ein negatives a einfach a multipliziert mit einem [mm]\lambda[/mm] ist, also [mm]-a =\lambda \odot a[/mm] und dann einsetzen in a+(-a)=0.
[mm]\lambda \odot a[/mm] ist [mm]\begin{pmatrix}
\lambda . a1 \\
a2
\end{pmatrix}[/mm], also steht jetzt [mm]\begin{pmatrix}
a1 \\
a2
\end{pmatrix}[/mm]+[mm]\begin{pmatrix}
\lambda . a1 \\
a2
\end{pmatrix}[/mm] das ergibt [mm]\begin{pmatrix}
\lambda . a1 +a1\\
a2+a2
\end{pmatrix}[/mm] und das ist egal für welches [mm]\lambda[/mm] nicht 0 (vorausgesetzt a1 und a2 sind ungleich 0)
Ich glaube, jetzt stimmt's...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Di 11.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kakerlman,
> Ich könnte ja sagen, dass ein negatives a einfach a
> multipliziert mit einem [mm]\lambda[/mm] ist, also [mm]-a =\lambda \odot a[/mm]
> und dann einsetzen in a+(-a)=0.
Da liegt mir auf der Zunge: Sagen kannst du viel, du mußt es aber direkt aus den Axiomen folgern. Wenn du schreibst "-a", dann ist damit ja nicht "minus a" gemeint, sondern das "inverse Element von a bzgl. der Addition". Das man es tatsächlich als "minus a" auffassen kann, folgt erst aus den Axiomen.
Zum Beispiel so (vielleicht geht es noch schneller):
Zunächst zeige ich, dass [mm] $0\odot [/mm] a=0$ (rechts steht der Nullvektor).
Mit (V8) haben wir aber: [mm] $0\odot a=(0+0)\odot a=0\odot [/mm] a [mm] \oplus 0\odot [/mm] a$. Mit (V3) folgt dann [mm] $0\odot [/mm] a=0$.
Jetzt haben wir aber: [mm] $-a\oplus [/mm] a=0$ und [mm] $0=((-1)+1)\odot a=((-1)\odot [/mm] a) [mm] \oplus [/mm] a$,
also ist [mm] $-a\oplus a=((-1)\odot [/mm] a) [mm] \oplus [/mm] a$
$ [mm] \gdw -a\oplus a\oplus -a=((-1)\odot [/mm] a [mm] \oplus [/mm] a) [mm] \oplus [/mm] -a$
$ [mm] \gdw -a=(-1)\odot [/mm] a$
Nun kannst du auch für [mm] $\lambda$ [/mm] oben und im Folgenden setzen: [mm] $\lambda=-1$
[/mm]
> [mm]\lambda \odot a[/mm] ist [mm]\begin{pmatrix}
> \lambda . a1 \\
> a2
> \end{pmatrix}[/mm], also steht jetzt
> [mm]\begin{pmatrix}
> a1 \\
> a2
> \end{pmatrix}[/mm]+[mm]\begin{pmatrix}
> \lambda . a1 \\
> a2
> \end{pmatrix}[/mm]
> das ergibt [mm]\begin{pmatrix}
> \lambda . a1 +a1\\
> a2+a2
> \end{pmatrix}[/mm] und das ist
> egal für welches [mm]\lambda[/mm] nicht 0 (vorausgesetzt a1 und a2
> sind ungleich 0)
>
> Ich glaube, jetzt stimmt's...
Ja, jetzt stimmt's, aber das wäre nicht mehr nötig gewesen, da mit meinem Beweis oben auch schon der Widerspruch in deinem letzten Artikel folgt.
Viele Grüße,
Marc
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