Vektorraumaxiome nachweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:05 Do 06.12.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Menge V aller reellwertigen Funktionen f einen reellen Vektorraum bildet! |
hallo- und noch ein problem mit den vektorräumen...
mir ist ja klar, dass funktionen einen vektorraum bilden, ich weiß auch, dass ich die gültigkeit der einzelnen axiome dafür belegen muss- aber im einzelnen bin ich dann doch immer unsicher, wie ich das auszudrücken habe, damit es vollständig bewiesen ist- schreibe ich nun f oder f(x) etc....
gibt es evtl hier im forum schon einen artikel dazu oder hat jemand einen nützlichen link?- damit man nicht nochmal alles im einzelnen abtippen muss!
würde mich echt über hilfe freuen, besten dank!
jura
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> Beweisen Sie, dass die Menge V aller reellwertigen
> Funktionen f einen reellen Vektorraum bildet!
Hallo,
Wir betrachten also [mm] \IR^{\IR}:=\{ f | f:\IR \to \IR\}, [/mm] zusammen mit der Addition + und der Multiplikation mit Skalaren, welche folgendermaßen definiert sind:
Es ist für alle f,g [mm] \in \IR^{\IR} [/mm] und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
f+g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
mit
(f+g)(x):=f(x)+g(x) für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
und
[mm] \lambda f:\IR \to \IR
[/mm]
mit
[mm] (\lambda f)(x):=\lambda [/mm] f(x).
Bereits hier lohnt sich ein kurzes Innehalten.
Was haben wir getan?
Wir haben die Addition zweier Funktionen f+g erklärt.
Wie addiert man zwei Funktionen? Indem man die Funktionswerte der beiden Funktionen addiert.
Ebenso haben wir die Multiplikation einer Funktion mit einer reellen Zahl erklärt. Wie geht das?
Multipliziere an jeder Stelle den Funktionswert mit dieser Zahl.
Nochmal: unsere neuen Funktionen sind f+g bzw. [mm] \lambda [/mm] f, diese sind Elemente v. [mm] IR^{\IR}.
[/mm]
Zum Nachweis der VR-Eigenschaft:
Für das Assoziativgesetz bzgl + ist zu zeigen: für alle [mm] f,g,h\in IR^{\IR} [/mm] gilt (f+g)+h=f+(g+h).
Es ist also nachzuweisen, daß die Funktion rechts dieselbe ist wie die links.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
Und das ist nun zu prüfen - an dieser Stelle kommen die Funktionswerte ins Spiel.
Sei [mm] x\in \IR.
[/mm]
Es ist
((f+g)+h)(x)
=(f+g)(x)+h(x) Nach Def. der Addition v. Funktionen
=[f(x)+g(x)]+h(x) nach Def. der Addition v. Funktionen
=f(x)+[g(x)+h(x)] da [mm] \IR [/mm] ein Körper ist
=f(x)+(g+h)(x) nach Def. der Addition v. Funktionen
=(f+(g+h))(x) nach Def. der Addition v. Funktionen
Es ist also für alle [mm] x\in \IR [/mm] ((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x)
==> es ist (f+g)+h=f+(g+h).
(f+g)+h=f+(g+h) ist das, was wir zeigen wollten und gezeigt haben, der Weg dorthin führte über die Funktionswerte.
Es ist gerade bei diesen VR-Geschichten wichtig, sich den Unterschied zwischen Funktion und Funktionswert klarzumachen, dann wird es auch schneller klar, wie man die lineare Unabhängigkeit v. Funktionen zeigt, ein Thema, welches naht...
Den Spruch"Zwei Funktionen sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen Stellen gleich sind" sollte man sich an einer Stelle im Kopf fest einspeichern und auf Knopfdruck abrufen können.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 08.12.2007 | | Autor: | jura |
ok, danke, du kannst das echt gut erklären!!!
und ich hab doch noch was: zu einem VR gehören ja immer ein körper, eine kommutative gruppe und eine verknüpfung zwischen diesen beiden, oder? was ist nun was in meinem bsp?- der körper müsste [mm] \IR [/mm] sein, die kommutative gruppe: die funktionen? und die verknüpfung- addition und multiplikation???? ich weiß nicht, so ganz exakt ist es noch nicht....
und welche axiome genau muss ich noch nachweisen- insgesamt 10?
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> und ich hab doch noch was: zu einem VR gehören ja immer
> ein körper, eine kommutative gruppe und eine verknüpfung
> zwischen diesen beiden, oder?
Hallo,
richtig.
> was ist nun was in meinem
> bsp?- der körper müsste [mm]\IR[/mm] sein,
Genau. Da steht ja "...einen reellen Vektorraum bilden", also einen VR über [mm] \IR.
[/mm]
> die kommutative gruppe:
> die funktionen?
Genau. Das ist die Menge der reellwertigen Funktionen auf [mm] \IR [/mm] zusammen mit der dort definierten Addition. (Zu einer Gruppe gehört immer die Angabe der Verknüpfung)
> und die verknüpfung- addition
Ja, das ist die Verknüfung innerhalb der Gruppe, die Verknüpfung, die Vektoren mit Vektoren verknüpft
> und
> multiplikation????
Ja. Diese Multiplikation verknüpft Körperelemente mit Vektoren.
> und welche axiome genau muss ich noch nachweisen-
> insgesamt 10?
Wieviele es genau sind, weiß ich nicht auswendig...
Alle Vektorraumaxiome.
Gruß v. Angela
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