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Vektorraumisomorphismus: Idee
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:43 So 09/10/2016
Author: Laura22

Hi!

Ich habe folgende Frage, die im Zuge einer von mir bearbeiteten Aufgabe aufgetreten ist. Wenn meine Vermutung stimmt, dann hätte ich die Aufgabe gelöst. Also: Ich habe einen Vektorraum V und Y einen lineare Teilvektorraum von V, sowie eine bilineare Abbildung [mm] \Omega:V\timesV\to\IR. [/mm] Nun betrachten wir die Abbildung
[mm] \psi: [/mm] V [mm] \to Hom(Y,\IR) [/mm] mit
v [mm] \mapsto \Omega(v,.). [/mm]
(d.h. wir linearisieren sozusagen [mm] \Omega) [/mm]
Nun würde ich gerne das Bild bestimmen, das meiner Meinung nach durch
die Menge [mm] Im(\psi) [/mm] = [mm] \{\phi:Y \to \IR: \phi=psi(v)=\Omega(v,.), v \in V\} [/mm] gegeben ist. Meine Frage: gilt zufälligerweise [mm] Im(\psi) \cong [/mm] Y ? Und wenn ja, wie kann man das sehen?
Vielen lieben Dank für jeden Hinweis!
Laura

        
Bezug
Vektorraumisomorphismus: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:42 So 09/10/2016
Author: hippias


> Hi!
>  
> Ich habe folgende Frage, die im Zuge einer von mir
> bearbeiteten Aufgabe aufgetreten ist. Wenn meine Vermutung
> stimmt, dann hätte ich die Aufgabe gelöst. Also: Ich habe
> einen Vektorraum V und Y einen lineare Teilvektorraum von
> V, sowie eine bilineare Abbildung [mm]\Omega:V\timesV\to\IR.[/mm]
> Nun betrachten wir die Abbildung
> [mm]\psi:[/mm] V [mm]\to Hom(Y,\IR)[/mm] mit
>  v [mm]\mapsto \Omega(v,.).[/mm]
>  (d.h. wir linearisieren sozusagen
> [mm]\Omega)[/mm]
>  Nun würde ich gerne das Bild bestimmen, das meiner
> Meinung nach durch
>  die Menge [mm]Im(\psi)[/mm] = [mm]\{\phi:Y \to \IR: \phi=psi(v)=\Omega(v,.), v \in V\}[/mm]
> gegeben ist. Meine Frage: gilt zufälligerweise [mm]Im(\psi) \cong[/mm]
> Y ? Und wenn ja, wie kann man das sehen?

Nein, ohne weitere Voraussetzungen an [mm] $\Omega$ [/mm] kann nicht auf die Isomorphie geschlossen werden. Sie gilt aber, wenn $V$ endlichdimensional und [mm] $\Omega$ [/mm] regulär ist, d.h. aus [mm] $\Omega(v,w)=0$ [/mm] für alle [mm] $w\in [/mm] V$ folgt, dass $v=0$ ist.

>  Vielen lieben Dank für jeden Hinweis!
>  Laura


Bezug
                
Bezug
Vektorraumisomorphismus: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:35 So 09/10/2016
Author: Laura22

Großen Dank für die Antwort. Damit komme ich aber tatsächlich schon weiter!!!
Gruß, Laura.

Bezug
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