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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Tonilein |
| Aufgabe | 2.) Gegeben ist ein dreiseitiges Prisma ABCDEF (siehe Abbildung) durch die Punkte A(5/1/2); B(7/7/5); C(3/7/5)
und den Vektor [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 6}.
[/mm]
2.1)
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte D, E und F.
2.2)
Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Zeigen Sie, dass das Prisma ABCDEF gerade ist.
Berechnen Sie das Volumen des Prismas ABCDEF.
2.3)
Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade g durch den Punkt A und den Mittelpunkt [mm] M_{BC} [/mm] der Seite BC.
Berechnen Sie den Durchstoßspunkt der Geraden g durch die x-y-Ebene. Bestimmen Sie z so, dass der Punkt (5/13/z) auf der Geraden g liegt.
2.4)
Eine Ebene [mm] \varepsilon [/mm] durch die Punkte A,B und F schneidet das Prisma. Geben Sie eine Gleichung für die Ebene [mm] \varepsilon [/mm] an.
Untersuchen Sie, ob der Punkt Q (11/10/-1) in der Ebene [mm] \varepsilon [/mm] liegt. |
Hey Leute, wie ihr sehen könnt, muss ich die obige Aufgabe lösen. Bis jetzt bin ich so weit gekommen:
2.1)
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{D} [/mm] - [mm] \overrightarrow{A} [/mm] / + [mm] \overrightarrow{A}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{D} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] + [mm] \overrightarrow{A}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{D} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 6} [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{D} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -2 \\ 8}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{E} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] + [mm] \overrightarrow{B}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{E} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 6} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 7 \\ 5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{E} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 4 \\ 11} [/mm]
[mm] \overrightarrow{F} [/mm] = [mm] \overrightarrow{BE} [/mm] + [mm] \overrightarrow{C}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{F} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 6} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 7 \\ 5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{E} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 11} [/mm]
2.2) Gleichschenkliges Dreieck wenn:
- zwei Seiten gleich lang sind
- gegenüberliegende Seiten --> Winkel gleich groß
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{(x1 - x2)² + (y1 - y2)² + (z1 - z2)²}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{(5 - 3)² + (1 - 7)² + (2 - 5)²}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{4 + 36 + 9}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{49}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = 7 LE
[mm] \overrightarrow{CB} [/mm] = [mm] \wurzel{(3 - 7)² + (7 - 7)² + (5 - 5)²}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CB} [/mm] = [mm] \wurzel{16}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CB} [/mm] = 4 LE
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \wurzel{(7 - 5)² + (7 - 1)² + (5 - 2)²}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \wurzel{4 + 36 + 49}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \wurzel{49}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = 7 LE
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \overrightarrow{BA}
[/mm]
Bei der Winkelberechnung habe ich leider keine gleichen Winkel rausbekommen....entweder habe ich falsch gerechnet oder sogar einen falschen Ansatz. Habe so begonnen:
Winkel [mm] \overrightarrow{AC}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{A}| [/mm] = [mm] \wurzel{5² + 1² + 2²}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{A}| [/mm] = [mm] \wurzel{25 + 1 + 4}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{A}| [/mm] = [mm] \wurzel{30}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{C}| [/mm] = [mm] \wurzel{3² + 7² + 5²}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{C}| [/mm] = [mm] \wurzel{9 + 49 + 25}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{C}| [/mm] = [mm] \wurzel{83}
[/mm]
cos < > ( [mm] \overrightarrow{A}; \overrightarrow{C}) [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{A} * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{A}| * |\overrightarrow{C}|}
[/mm]
cos < > ( [mm] \overrightarrow{A}; \overrightarrow{C}) [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{A} * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{A}| * |\overrightarrow{C}|} [/mm] = [mm] \bruch{32}{\wurzel{30} * \wurzel{83}}
[/mm]
cos < > ( [mm] \overrightarrow{A}; \overrightarrow{C}) [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{A} * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{A}| * |\overrightarrow{C}|} [/mm] = 50, 112 °
So habe ich die anderen auch berechnet, komme aber immer auf ein anderes Ergebnis.
Kann mir jemand sagen wie man zeigen kann, dass das Prisma gerade ist und wie man das Volumen des Prismas berechnet?
2.3)
[mm] M_{BC} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\overrightarrow{B} [/mm] * [mm] \overrightarrow{C})
[/mm]
[mm] M_{BC} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \vektor{10 \\ 14 \\ 10}
[/mm]
[mm] M_{BC} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 7 \\ 5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{A} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{AM_{BC}}
[/mm]
g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2} [/mm] + r * [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 3}
[/mm]
Durchstoßpunkt:
[mm] \vektor{x \\ y \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2} [/mm] + r * [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 3}
[/mm]
x = 5 x = 5
y = 1 + 6r y = -3
0 = 2 + 3r r = [mm] \bruch{-2}{3}
[/mm]
[mm] P_{xy} [/mm] = (5/-3/0)
Jetzt weiß ich leider auch nicht wie man den Schnittwinkel berechnet????
Bestimmung von z:
[mm] \vektor{5 \\ 13 \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2} [/mm] + r * [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 3}
[/mm]
I. 5 = 5
II. 13 = 1 + 6r
III. z = 2 + 3r / *(-2)
III. - 2z = -4 - 6r
II. + III.
13 - 2z = -2 / +2/+2z
15=2z / /2
7,5 = z
2.4)
[mm] \varepsilon: \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2} [/mm] + r* [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 3}
[/mm]
Die Untersuchung, ob der Punkt Q in der Ebene liegt habe ich auch gemacht und heraus kam, dass er in der Ebene liegt, daher schreibe ich die Lösung nicht nochmal auf, da es ja richtig sein muss.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte und auch mal durchgucken kann, ob alles richtig ist und mir sagen kann, wie ich an den Stellen, wo ich nicht weiterkomme, weitermachen muss.
Vielen lieben Dank schon mal im Voraus 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo Tonilein,
> Hey Leute, wie ihr sehen könnt, muss ich die obige Aufgabe
> lösen. Bis jetzt bin ich so weit gekommen:
>
> 2.1)
>
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] = [mm]\overrightarrow{D}[/mm] -
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm] / + [mm]\overrightarrow{A}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{D}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm]
>
>
> [mm]\overrightarrow{D}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -3 \\ 6}[/mm] + [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\overrightarrow{D}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ -2 \\ 8}[/mm]
>
>
> [mm]\overrightarrow{E}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{B}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{E}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -3 \\ 6}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 7 \\ 5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{E}[/mm] = [mm]\vektor{7 \\ 4 \\ 11}[/mm]
>
>
> [mm]\overrightarrow{F}[/mm] = [mm]\overrightarrow{BE}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{C}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{F}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -3 \\ 6}[/mm] + [mm]\vektor{3 \\ 7 \\ 5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{E}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 11}[/mm]
[mm]\overrightarrow{\red{F}} \ = \ \vektor{3 \\ 4 \\ 11}[/mm]
>
>
> 2.2) Gleichschenkliges Dreieck wenn:
> - zwei Seiten gleich lang sind
> - gegenüberliegende Seiten --> Winkel gleich groß
>
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\wurzel{(x1 - x2)² + (y1 - y2)² + (z1 - z2)²}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\wurzel{(5 - 3)² + (1 - 7)² + (2 - 5)²}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\wurzel{4 + 36 + 9}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\wurzel{49}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = 7 LE
>
> [mm]\overrightarrow{CB}[/mm] = [mm]\wurzel{(3 - 7)² + (7 - 7)² + (5 - 5)²}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{CB}[/mm] = [mm]\wurzel{16}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{CB}[/mm] = 4 LE
>
> [mm]\overrightarrow{BA}[/mm] = [mm]\wurzel{(7 - 5)² + (7 - 1)² + (5 - 2)²}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BA}[/mm] = [mm]\wurzel{4 + 36 + 49}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BA}[/mm] = [mm]\wurzel{49}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{BA}[/mm] = 7 LE
>
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\overrightarrow{BA}[/mm]
>
>
> Bei der Winkelberechnung habe ich leider keine gleichen
> Winkel rausbekommen....entweder habe ich falsch gerechnet
> oder sogar einen falschen Ansatz. Habe so begonnen:
>
> Winkel [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{A}|[/mm] = [mm]\wurzel{5² + 1² + 2²}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{A}|[/mm] = [mm]\wurzel{25 + 1 + 4}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{A}|[/mm] = [mm]\wurzel{30}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{C}|[/mm] = [mm]\wurzel{3² + 7² + 5²}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{C}|[/mm] = [mm]\wurzel{9 + 49 + 25}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{C}|[/mm] = [mm]\wurzel{83}[/mm]
>
> cos < > ( [mm]\overrightarrow{A}; \overrightarrow{C})[/mm] =
> [mm]\bruch{\overrightarrow{A} * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{A}| * |\overrightarrow{C}|}[/mm]
>
> cos < > ( [mm]\overrightarrow{A}; \overrightarrow{C})[/mm] =
> [mm]\bruch{\overrightarrow{A} * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{A}| * |\overrightarrow{C}|}[/mm]
> = [mm]\bruch{32}{\wurzel{30} * \wurzel{83}}[/mm]
>
> cos < > ( [mm]\overrightarrow{A}; \overrightarrow{C})[/mm] =
> [mm]\bruch{\overrightarrow{A} * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{A}| * |\overrightarrow{C}|}[/mm]
> = 50, 112 °
Hier sind die Winkel der von den Seiten [mm]AB, \ AC , \ BC [/mm] eingeschlossen Winkel zu berechnen.
Um jetzt den von den Seiten AB und AC eingeschlossenen Winkel zu berechnen, gehe wie folgt vor:
[mm]\cos\left(\alpha\right)=\bruch{\overrightarrow{AB} \* \overrightarrow{AC}}{\vmat{\overrightarrow{AB}}*\vmat{\overrightarrow{AC}}}[/mm]
>
> So habe ich die anderen auch berechnet, komme aber immer
> auf ein anderes Ergebnis.
>
> Kann mir jemand sagen wie man zeigen kann, dass das Prisma
> gerade ist und wie man das Volumen des Prismas berechnet?
Zum Nachweis des geraden Prismas:
Zeige das [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] senkrecht auf dieser Ebene, die durch die Punkte A, B, C geht, steht.
Anders gesagt: Der Vektor [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] steht senkrecht auf den Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm].
Das ![[]](/images/popup.gif) Volumen eines Prismas zu berechnen ist weiter kein Problem.
>
> 2.3)
>
> [mm]M_{BC}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\overrightarrow{B}[/mm] *
> [mm]\overrightarrow{C})[/mm]
> [mm]M_{BC}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\vektor{10 \\ 14 \\ 10}[/mm]
> [mm]M_{BC}[/mm] =
> [mm]\vektor{5 \\ 7 \\ 5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\overrightarrow{A}[/mm] + r *
> [mm]\overrightarrow{AM_{BC}}[/mm]
>
> g: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 2}[/mm] + r *
> [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 3}[/mm]
>
> Durchstoßpunkt:
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 2}[/mm] + r *
> [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 3}[/mm]
>
> x = 5 x = 5
> y = 1 + 6r y = -3
> 0 = 2 + 3r r = [mm]\bruch{-2}{3}[/mm]
>
> [mm]P_{xy}[/mm] = (5/-3/0)
>
> Jetzt weiß ich leider auch nicht wie man den Schnittwinkel
> berechnet????
Von Schnittwinkel ist in dieser Teilaufgabe keine Rede.
>
> Bestimmung von z:
>
> [mm]\vektor{5 \\ 13 \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 2}[/mm] + r *
> [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 3}[/mm]
>
> I. 5 = 5
> II. 13 = 1 + 6r
> III. z = 2 + 3r / *(-2)
>
> III. - 2z = -4 - 6r
>
> II. + III.
>
> 13 - 2z = -2 / +2/+2z
Da ist einiges verlorengegangen
II -2 * III: [mm]13-2*z=1+6r-2*(2+3r) \gdw 13 - 2*z=\red{1-2*2}[/mm]
> 15=2z / /2
> 7,5 = z
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> 2.4)
>
> [mm]\varepsilon: \overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 2}[/mm] + r*
> [mm]\vektor{2 \\ 6 \\ 3}[/mm]
Eine Ebene hat immer 2 Richtungsvektoren. Sind diese 2 Richtungsvektoren parallel, so artet die Ebene zu einer Geraden aus.
Die Ebenengleichung lautet demnach so:
[mm]\varepsilon: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r*\overrightarrow{AB}+s*\overrightarrow{AF}[/mm]
>
> Die Untersuchung, ob der Punkt Q in der Ebene liegt habe
> ich auch gemacht und heraus kam, dass er in der Ebene
> liegt, daher schreibe ich die Lösung nicht nochmal auf, da
> es ja richtig sein muss.
>
> Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte und auch mal
> durchgucken kann, ob alles richtig ist und mir sagen kann,
> wie ich an den Stellen, wo ich nicht weiterkomme,
> weitermachen muss.
>
>
> Vielen lieben Dank schon mal im Voraus
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:27 So 27.04.2008 | | Autor: | Tonilein |
Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade g durch den Punkt A und den Mittelpunkt der Seite BC.
Berechnen Sie den Durchstoßspunkt der Geraden g durch die x-y-Ebene.
Bei dieser Aufgabe kommt noch eine Aufgabe hinzu:
Berechnen Sie den Schnittwinkel der Geraden mit der x-y-Ebene!!!
Kann mir da bitte jemand helfen und sagen wie man sowas macht?...Wäre nett..danke schon mal im Voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tonilein!
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") . . . . https://matheraum.de/read?t=398263
Da habe ich diese Frage soeben beantwortet. bitte keine Doppelpostings hier fabrizieren.
Gruß
Loddar
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