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Hallo Leute,
brauche dringend Hilfe. Habe ein Problem bei der Lösung folgender Aufgabe:
es sind drei Vektoren gegeben:
u: 1, 2a, 2
v: 1, 1 , -a
w: 0, a, 3
alles natürlich in vektorschreibweise(also untereinander)
Frage1: Für welche Werte a sind die 3 Vektoren linear abhängig, für welche Werte sind sie linear unabhängig?
Ich habe da schon einiges ausprobiert und komme nicht aufein ergebnis.
Kann mir jemand helfen?
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Hi, Mathehasserin,
normalerweise solltest Du ja wenigstens erst mal Deine Lösungsversuche mitsenden! Da Du's nicht tust, geb' ich Dir auch keine fertige Lösung, sondern nur Hilfen an:
1. Wenn Du die Determinante kennst, dann setz die Vektoren ein. Für die Werte, bei denen die Determinante 0 ist, sind di Vektoren linear abhängig, sopnst unabhängig. Die Determinante ergibt: [mm] a^{2}-4a+3. [/mm] Ergebnis: Linear abhängig für a=1 und für a=3; sonst unabhängig.
2. Wenn Du die Determinante nicht kennst, aber das Gauß-Verfahren, dann formst Du eben damit um, bis Du die Lösung hast!
3. Kennst Du auch dieses nicht, dann verwendest Du den Ansatz:
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] r*\vec{v} [/mm] + [mm] s*\vec{w} [/mm] und rechnest daraus r, s und a aus.
Für die hier berechneten Werte von a ergibt sich lineare Abhängigkeit; ansonsten Unabhängigkeit!
So: Und nun mach' mal was!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein,
vielen vielen Dank,dass du dir Zeit genommen hast.Mir dröhnt schon der Kopf. Ich gebe dir lieber dann mal meinen ansatz, vielleicht kannst du mir ja dann das Ergebnis nennen.Denn ich glaube nicht,dass ich selber drauf komme-schließlich sitze ich schon seit cs. 4stunden an dieser aufgabe, die zudem noch unteraufgaben hat.
Also:
die Vektoren kennst du ja. ich habe mit Hilfe dieser Vektoren ein LGS aufgestellt. Undzwar habe ich zunächst alle vektoren mit einem "Buchstaben" gewichtet. also r*Vektor1 + s*Vektor2 + t*Vektor3 und dies gleich dem Nullvektor gesetzt. danach habe ich das LGS raus, nämlich:
1. r+s =0
2. 2ar + s+ ta =0
3. 2r-as+3t= 0
So.Jetzt muß ich nach r,s,t, auflösen. Soweit so gut.
aber ich kriege das nicht hin.
laut der 1. Gleichung ist r= -s
so, jetzt kann ich in 2. s= -r einsetzten.
dann lautet 2.' 2ar-r+ta=0
und nun?
ich hoffe du kannst mir da helfen.
LG
mathehasserin(eigentlich seit dieser aufgabe)
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Hi, mathehasserin,
Dein Ansatz ist zwar richtig, aber nicht besonders schlau: Du hast 3 Gleichungen, aber 4 Unbekannte! Da musst Du irgendwann einen Parameter einführen.
Wenn Du - wie ich vermute - die Determinante nicht kennst,
gehst Du am besten folgendermaßen vor: Kläre erst mal ab, ob es ein a gibt, für das zwei der Vektoren parallel sind. Das geht meist recht schnell
und führt auch in Deinem Fall (wie fast immer) zum Ergebnis:
Ein solches a gibt es nicht.
Dann aber können die 3 Vektoren nur linear abhängig sein, wenn sich einer davon (sagen wir: der erste) als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt. Vorteil: Du hast wirklich nur 3 Unbekannte (und nicht 4):
[mm] \vektor{1\\2a\\2} [/mm] = [mm] r*\vektor{1\\1\\-a} +s*\vektor{0\\a\\3}
[/mm]
Gleichungssystem:
I. 1 = r (toll, nicht?!)
II. 2a = r + as (wegen I.: 2a = 1 + as)
III. 2 = -ar + 3s (wegen I.: 2 = -a + 3s)
Die III. Gleichung löse ich nach a auf (a=3s-2) und setze dies in die II. ein:
6s-4 = [mm] 1+3s^{2}-2s.
[/mm]
Dies ist eine quadratische Gleichung in s und führt zu den Lösungen:
[mm] s_{1}=1; s_{2}=\bruch{5}{3}
[/mm]
Somit gibt's auch für a 2 Lösungen, nämlich: [mm] a_{1}=1; a_{2}=3. [/mm]
mfG!
Zwerglein
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Danke!
ich wäre nie im Leben drauf gekommen. Ich danke dir tausend mal.
D.h. also dass die Vektoren für a=1 und 3 linear abhängig sind und für alle anderen a's nicht, oder wie?
cool!
dankeschön
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Es sei denn, ich hab' mich verrechnet!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Do 03.03.2005 | | Autor: | DrOetker |
>>Für die Werte, bei denen die Determinante 0 ist, sind di Vektoren linear abhängig, sopnst unabhängig.
Hi!
Kannst du mir diese Aussage einmal genauer erläutern? Irgendwie peile ich das mit der Abhängigkeit und Unabhängigkeit noch nicht wirklich.
Habe über die Determinante das selbe ERgebnis bekommen, aber wie kann ich das mit der Abhängigkeit überprüfen und nachvollziehen???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Do 03.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo DrOetker!
Da dies mathematisch auf Schulniveau nicht zu beweisen ist, gebe ich nur eine anschauliche Begründung dieser Tatsache:
Der Absolutbetrag der Determinante von reellen Vektoren ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds, das durch diese Vektoren aufgespannt wird. Wenn die Determinante nun gleich 0 ist, dann spannen die Vektoren eben keinen echten Körper mit positivem Volumen auf, sind also zwangsläufig linear abhängig (anschaulich klar: zwei linear abhängige Vektoren in einer Ebene liegen auf der gleichen Usprungsgeraden, und das daraus entstehende entartete Parallelepiped, eine Gerade, hat im Zweidimensionalen kein Volumen, d.h. die Determinante ist 0).
Klar?
Liebe Grüße
Julius
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