Vektorrechnung Korrektur < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:16 Fr 09.07.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
| Aufgabe | In einem x-y-z-System ist eine Ebene durch drei Punkte definiert. Diese lauten: P1(0/0/1), P2(0/2/0), P3(3/0/0)
a) Geben Sie die Gleichung der Ebene in vektorieller Darstellung an
b) Geben Sie die Gleichung in der Form Ax+By+Cz+D=0 an
c) Bestimmen Sie den Winkel der Ebene zur Horizontalen
d) Ermitteln Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g mit der Ebene
g: [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2,75 \\ 4}+\alpha*\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] |
Hallo,
hier meine Lösung zur Aufgabe:
a) E: [mm] \overrightarrow{r}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+\lambda\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu\vektor{3 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
b) x+1,5*y+3*z-3=0
c) Winkel phi = 31°
d) S (0,837 | 0,42 | 0,51)
Wäre top, wenn sich das mal jemand anschauen könnte. Danke schonmal.
Gruß
|
|
| |
|
Hallo,
meinst du nicht, dass es sinnvoll wäre, deine Rechnungen zu zeigen?
Da könnte man dann drüber schauen und gucken, ob alles richtig ist.
Wenn du nur deine Ergebnisse hinklatscht, müsste ein potentieller Helfer alles selber nachrechnen.
Und das kann doch nicht Sinn der Sache sein ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo jimmytimmy!
Deine Parameterform (= Vektorform) ist okay.
Bei der Koordinatenform stimmt dann schon etwas nicht mehr.
Ansonsten gilt aber: bitte mit nachvollziehbaren Zwischenschritten posten.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
sorry, dachte ihr habt vielleicht ein Matheprogamm wo ihr das nur eingeben braucht und er spuckt die Sachen aus.
Hier also meine Berechnungen:
a) Ebene aus Ortsvektor und den zwei Richtungsvektoren bestimmen
b) erstmal den Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmt zu: (-2/-3/-6)
Rechnungen hierzu:
x=2*(-1)-(-1)*0
y=(-1)*3-0*(-1)
z=0*0-2*3
Dann die Ebene in Normalform hingeschrieben:
E: [mm] r=\vektor{-2 \\ -3 \\ -6}*\vektor{x - 0 \\ y - 0 \\ z - 1}
[/mm]
Das dann zur parameterfreien Form ausmultipliziert:
E: r=(-2)*(x-0)+(-3)*(y-0)+(-6)*(z-1)
= -2*x-3*y-6*z+6 |:(-2)
=x+1,5*y+3*z-3=0
c) Winkel zur Ebene z=0
[mm] n_1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} n_2=\vektor{-2 \\ -3 \\ -6}
[/mm]
[mm] n_1 [/mm] o [mm] n_2 [/mm] = |-6| = 6
[mm] |n_1| [/mm] = [mm] \wurzel{0^2+0^2+1^2} [/mm] = 1
[mm] |n_2| [/mm] = [mm] \wurzel{(-2)^2+(-3)^2+(-6)^2} [/mm] = 7
[mm] phi=arccos\bruch{6}{1 * 7} [/mm] = 31°
d) Durchstoßpunkt
[mm] r_s=r_1+\bruch{n*(r_0 - r_1)}{n * a} [/mm] * a
[mm] n*(r_0 [/mm] - [mm] r_1) [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ -6}*\vektor{0 - 2 \\ 0 - 2,75 \\ 1 - 4} [/mm]
= [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ -6} [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ -2,75 \\ -3} [/mm] = 4+8,25+18 = 30,25
[mm] n*a=\vektor{-2 \\ -2,75 \\ -3} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = -2-6-18 = -26
[mm] r_s= \vektor{2 \\ 2,75 \\ 4} [/mm] + [mm] \bruch{30,25 }{-26}*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
= [mm] \vektor{2 - 1,163 \\ 2,75 - 2,33 \\ 4 - 3,49} [/mm] = [mm] \vektor{0,837 \\ 0,42 \\ 0,51}
[/mm]
S(0,837|0,42|0,51)
Hoffe ihr könnt das jetzt nachvollziehen. Danke.
|
|
|
| |
|
Hallo jimmytimmy,
> sorry, dachte ihr habt vielleicht ein Matheprogamm wo ihr
> das nur eingeben braucht und er spuckt die Sachen aus.
schön wärs 
>
> Hier also meine Berechnungen:
>
> a) Ebene aus Ortsvektor und den zwei Richtungsvektoren
> bestimmen
wie oben schon gesagt wurde ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) erstmal den Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden
> Richtungsvektoren bestimmt zu: (-2/-3/-6)
>
> Rechnungen hierzu:
> x=2*(-1)-(-1)*0
> y=(-1)*3-0*(-1)
> z=0*0-2*3
>
> Dann die Ebene in Normalform hingeschrieben:
>
> E: [mm]r=\vektor{-2 \\ -3 \\ -6}*\vektor{x - 0 \\ y - 0 \\ z - 1}[/mm]
>
> Das dann zur parameterfreien Form ausmultipliziert:
>
> E: r=(-2)*(x-0)+(-3)*(y-0)+(-6)*(z-1)
> = -2*x-3*y-6*z+6 |:(-2)
> =x+1,5*y+3*z-3=0
geht aber einfacher: die Koeffizienten a,b,c in der Koordinatendarstellung, sind die Koordiaten deines Normalenvektors. also
-2*x + (-3)*y + (-6)*z + d = 0 dann nur noch einen beliebigen Punkt der Ebene einsetzen.... [mm] P_1 [/mm] ist da ganz einfach.... [mm] \rightarrow [/mm] d = -6
das ist dann einfach nur das doppelte von deiner Gleichung
>
> c) Winkel zur Ebene z=0
>
> [mm]n_1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} n_2=\vektor{-2 \\ -3 \\ -6}[/mm]
>
> [mm]n_1[/mm] o [mm]n_2[/mm] = |-6| = 6
>
> [mm]|n_1|[/mm] = [mm]\wurzel{0^2+0^2+1^2}[/mm] = 1
> [mm]|n_2|[/mm] = [mm]\wurzel{(-2)^2+(-3)^2+(-6)^2}[/mm] = 7
>
> [mm]phi=arccos\bruch{6}{1 * 7}[/mm] = 31°
>
> d) Durchstoßpunkt
>
> [mm]r_s=r_1+\bruch{n*(r_0 - r_1)}{n * a}[/mm] * a
>
> [mm]n*(r_0[/mm] - [mm]r_1)[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ -6}*\vektor{0 - 2 \\ 0 - 2,75 \\ 1 - 4}[/mm]
> = [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ -6}[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ -2,75 \\ -3}[/mm] =
> 4+8,25+18 = 30,25
>
> [mm]n*a=\vektor{-2 \\ -2,75 \\ -3}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] =
> -2-6-18 = -26
>
> [mm]r_s= \vektor{2 \\ 2,75 \\ 4}[/mm] + [mm]\bruch{30,25 }{-26}*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{2 - 1,163 \\ 2,75 - 2,33 \\ 4 - 3,49}[/mm] =
> [mm]\vektor{0,837 \\ 0,42 \\ 0,51}[/mm]
>
> S(0,837|0,42|0,51)
aber auch wieder, die (x,y,z) aus der Geradengleichung in die Koordinatenform einsetzen führt schneller zum Ziel....
>
> Hoffe ihr könnt das jetzt nachvollziehen. Danke.
>
>
Gruß Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Fr 09.07.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
Vielen Dank ;)
|
|
|
| |
|
> >
> > S(0,837|0,42|0,51)
> aber auch wieder, die (x,y,z) aus der Geradengleichung in
> die Koordinatenform einsetzen führt schneller zum
> Ziel....
> >
> > Hoffe ihr könnt das jetzt nachvollziehen. Danke.
> >
> >
> Gruß Christian
Hier steh ich irgendwie auf dem Schlauch - was soll ich wo einsetzen? Wäre nett wenn mir das kurz jemand erklären könnte bzw. kurz die Rechnung hinschreiben könnte. Mein Hirn ist langsam von Mathe zerfressen *g*
|
|
|
| |
|
wir haben einmal die Gerade: [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2,75 \\4} [/mm] + [mm] a*\vektor{1 \\ 2 \\3} [/mm]
und zum anderen die Ebene: 2x + 3y + 6z -6 = 0
für x setzt du jetzt also x = 2 + a ein, für y = 2,75 + 2a und für z = 4 + 3a
dann hast du eine Gleichung für a. Das dann in die Gerade einsetzen und fertig...
Das geht m.E. schneller, wenn man einmal die Koordinatenform der Ebene schon hat, ist aber Geschmackssache
Gruß Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Fr 09.07.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
Vielen vielen Dank ;) das geht viel schneller als diese komplizierte Formel.
|
|
|
|
