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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:55 Mi 08.12.2010 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Sei a>0 beliebig, [mm] x_0=c>0 [/mm] beliebig und [mm] \[x_{n+1}=\frac{1}{k}((k-1)x_n+\frac{a}{x_n^{k-1}})=x_n+\frac{x_n}{k}(\frac{a}{x_n^k}-1)\]
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (x_n [/mm] ) gegen [mm] \wurzel[a]{k} [/mm] kovergiert.
Hinweise:
Zeigen Sie in dieser Reihenfolge:
1. [mm] x_n>0 [/mm] für alle n
2. [mm] x_{n+1}^k\geq [/mm] a
3. [mm] x_n -x_{n+1}=\frac{x_n}{k}(1-\frac{a}{x_n^k})
[/mm]
4. Wegen 1. und 3. ist [mm] x_n [/mm] monoton fallend und durch 0 nach unten beschränkt, hat also einen Grenzwert g. Für diesen gilt [mm] g=\frac{1}{k}((k-1)g+\frac{a}{g^{k-1}}) [/mm] un damit auch [mm] g^k=a. [/mm] Warum? |
Hi,
ich komme mit dem angegebenen Lösungsweg nicht ganz durch. Hier meine Ansätze.
zu 1) Für [mm] k\geq [/mm] 1 ist das induktiv mit dem Induktionsanfang [mm] x_0=c>0 [/mm] klar. In allen anderen Fällen funktioniert der Induktionsbeweis nicht für alle a. Beispiel k=-1: [mm] x_{n+1}=\frac{1}{-1}[(-1-1)x_n+a/x_n^{-1-1}] [/mm] = - [mm] [-2x_n+a x_n^2]=x_n(2-a x_n), [/mm] dann muss 2>a [mm] x_n [/mm] gelten, damit [mm] x_{n+1} [/mm] auch positiv.
Ich nehme an, dass k, obwohl nicht explizit angegeben, natürlich sein soll.
zu 2) Bernoulliungleichung, etwa mit [mm] \[x_{n+1}^k=[x_n(1+\frac{a}{kx_n^k}-\frac{1}{k})]^k=x_n^k(1+\frac{a}{kx_n^k}-\frac{1}{k})^k\stackrel{Bernoulli}{\geq}x_n^k(1+\frac{a}{x_n^k}-1)=a\]. [/mm] Dafür muss aber [mm] \frac{a}{kx_n^k}-\frac{1}{k}\geq [/mm] -1 sein. Das gilt mit [mm] k\geq [/mm] 1 und mit (1): [mm] \frac{a}{k x_n^k} [/mm] ist positiv und [mm] -\frac{1}{k}\geq [/mm] -1
zu 3) Folgt direkt aus Umformung der Definition
zu 4) Monoton fallend, da die rechte Seit mit k>0 (!) und (1) und (2) positiv ist. Nach unten beschränkt durch 0 wegen (1), also existiert g.
[mm] x_{n+1}-x_n [/mm] wird beliebig klein und im Grenzwert ist die Differenz 0. Also muss für g gelten, dass die Differenz 0 ist und man erhält genau die Gleichung (gibt es hierfür eine schönere Formulierung z.B. mit [mm] \varepsilon?). [/mm]
[mm] g^k=a [/mm] ist dann eine Lösung der Gleichung.
Ich wäre sehr erfreut, wenn jemand einmal einen Blick auf meine Überlegungen werfen könnte 
mfg pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei a>0 beliebig, [mm]x_0=c>0[/mm] beliebig und
> [mm]\[x_{n+1}=\frac{1}{k}((k-1)x_n+\frac{a}{x_n^{k-1}})=x_n+\frac{x_n}{k}(\frac{a}{x_n^k}-1)\][/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm](x_n[/mm] ) gegen [mm]\wurzel[a]{k}[/mm] kovergiert.
> Hinweise:
> Zeigen Sie in dieser Reihenfolge:
> 1. [mm]x_n>0[/mm] für alle n
> 2. [mm]x_{n+1}^k\geq[/mm] a
> 3. [mm]x_n -x_{n+1}=\frac{x_n}{k}(1-\frac{a}{x_n^k})[/mm]
> 4. Wegen
> 1. und 3. ist [mm]x_n[/mm] monoton fallend und durch 0 nach unten
> beschränkt, hat also einen Grenzwert g. Für diesen gilt
> [mm]g=\frac{1}{k}((k-1)g+\frac{a}{g^{k-1}})[/mm] un damit auch
> [mm]g^k=a.[/mm] Warum?
> Hi,
>
> ich komme mit dem angegebenen Lösungsweg nicht ganz durch.
> Hier meine Ansätze.
>
> zu 1) Für [mm]k\geq[/mm] 1 ist das induktiv mit dem
> Induktionsanfang [mm]x_0=c>0[/mm] klar. In allen anderen Fällen
> funktioniert der Induktionsbeweis nicht für alle a.
> Beispiel k=-1: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{-1}[(-1-1)x_n+a/x_n^{-1-1}][/mm]
> = - [mm][-2x_n+a x_n^2]=x_n(2-a x_n),[/mm] dann muss 2>a [mm]x_n[/mm] gelten,
> damit [mm]x_{n+1}[/mm] auch positiv.
> Ich nehme an, dass k, obwohl nicht explizit angegeben,
> natürlich sein soll.
So ist es
>
> zu 2) Bernoulliungleichung, etwa mit
> [mm]\[x_{n+1}^k=[x_n(1+\frac{a}{kx_n^k}-\frac{1}{k})]^k=x_n^k(1+\frac{a}{kx_n^k}-\frac{1}{k})^k\stackrel{Bernoulli}{\geq}x_n^k(1+\frac{a}{x_n^k}-1)=a\].[/mm]
> Dafür muss aber [mm]\frac{a}{kx_n^k}-\frac{1}{k}\geq[/mm] -1 sein.
> Das gilt mit [mm]k\geq[/mm] 1 und mit (1): [mm]\frac{a}{k x_n^k}[/mm] ist
> positiv und [mm]-\frac{1}{k}\geq[/mm] -1
>
> zu 3) Folgt direkt aus Umformung der Definition
>
> zu 4) Monoton fallend, da die rechte Seit mit k>0 (!) und
> (1) und (2) positiv ist. Nach unten beschränkt durch 0
> wegen (1), also existiert g.
> [mm]x_{n+1}-x_n[/mm] wird beliebig klein und im Grenzwert ist die
> Differenz 0. Also muss für g gelten, dass die Differenz 0
> ist und man erhält genau die Gleichung (gibt es hierfür
> eine schönere Formulierung
Daran ist nichts zu meckern
FRED
> z.B. mit [mm]\varepsilon?).[/mm]
> [mm]g^k=a[/mm] ist dann eine Lösung der Gleichung.
>
> Ich wäre sehr erfreut, wenn jemand einmal einen Blick auf
> meine Überlegungen werfen könnte
>
> mfg pyw
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