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Verallgemeinerte Kettenregel: Vektorwertig Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Di 07.08.2018
Autor: Takota

Aufgabe
Gegeben:

[mm] $\exists B(t^0,r) \subset \IR^n^-^m, [/mm] (r>0)$

$ [mm] \exists [/mm] u: [mm] B(t^0,r) \to \IR^m, [/mm] u [mm] \mapsto [/mm] u(t)$

Funktion
$ [mm] \varphi: B(t^0,r) \to \IR; [/mm] t [mm] \to\varphi(t) [/mm] := f(u(t),t) $

Gesucht
[mm] $\varphi'(t)=? [/mm]

Hallo,
diese Aufgabe ist eine Teilaufgabe aus dem Beweis für Lagrange-Multiplikatoren zu dem ich hier auch Fragen gestellt habe. Da es mir wichtig ist zu wissen, wie man die verallgemeinerte Kettenregel auch auf vektorwertige Funktionen anwendet, habe ich diese Teil-Aufgabe hier nochaml explizit eingestellt.
Die Kettenregel angewendet auf einen einzelnen Vektor ist mir klar:

z.B.: Kettenregel auf f(x(t)) angewendet ergibt [mm] $f'(x(t))\cdot [/mm] x'(t)$

Bei der Aufgabe stehen aber zwei Zeilenvektoren (u(t) und t)im Argument von f. Kann mir bitte jemand genau erklären wie man da vorgeht und warum?

Die Lösung ist:

[mm] $\varphi'(t)=f_u(ut),t)\cdot u'(t)+f_t(u(t),t)$ [/mm]

LG
Taktoa

        
Bezug
Verallgemeinerte Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:01 Di 07.08.2018
Autor: Takota

Wäre nett, wenn sich bald jemand dazu melden würde, da ich sonst nicht weiter komme. Ich weiß momentan nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Seit ihr etwa alle im Urlaub??? :-)

Bezug
        
Bezug
Verallgemeinerte Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Fr 10.08.2018
Autor: meili

Hallo Takota,

so ganz bekomme ich diese Kettenregel auch nicht zusammen,
aber da so lange kein anderer geantwortet hat, kann ich wenigstens
einige Schritte dazu beitragen.

Mit dem Nachtrag fiel mir doch noch ein, wie es weiter geht.

> Gegeben:
>  
> [mm]\exists B(t^0,r) \subset \IR^n^-^m, (r>0)[/mm]
>  
> [mm]\exists u: B(t^0,r) \to \IR^m, u \mapsto u(t)[/mm]
>
> Funktion
>  [mm]\varphi: B(t^0,r) \to \IR; t \to\varphi(t) := f(u(t),t)[/mm]
>
> Gesucht
>  [mm]$\varphi'(t)=?[/mm]
>  Hallo,
>  diese Aufgabe ist eine Teilaufgabe aus dem Beweis für
> Lagrange-Multiplikatoren zu dem ich hier auch Fragen
> gestellt habe. Da es mir wichtig ist zu wissen, wie man die
> verallgemeinerte Kettenregel auch auf vektorwertige
> Funktionen anwendet, habe ich diese Teil-Aufgabe hier
> nochaml explizit eingestellt.
>  Die Kettenregel angewendet auf einen einzelnen Vektor ist
> mir klar:
>  
> z.B.: Kettenregel auf f(x(t)) angewendet ergibt
> [mm]f'(x(t))\cdot x'(t)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Bei der Aufgabe stehen aber zwei Zeilenvektoren (u(t) und
> t)im Argument von f. Kann mir bitte jemand genau erklären
> wie man da vorgeht und warum?

Ja, einfacher wäre es, wenn da f(u(t)) stehen würde, dann könnte man
direkt die Kettenregel darauf anwenden.

Zuerst drösele ich noch einmal auf, welche Funktion von wo nach wo abbildet,
und dann mache ich ein Beispiel dazu:

$f: \IR^n \supset G \to \IR, (x_1, \ldots , x_n)^T \mapsto f(x_1, \ldots , x_n)$
$ u: \IR^{n-m} \supset B(t^0,r) \to \IR^m, u \mapsto u(t) $
$ \varphi: \IR^{n-m} \supset B(t^0,r) \to \IR,  t \mapsto\varphi(t) := f(u(t),t) $

Mit $n=5$ und $m=3$:
$f: \IR^5 \supset G \to \IR, (x_1, x_2, x_3, x_4 , x_5)^T \mapsto f(x_1, x_2, x_3, x_4 , x_5)$
$ u: \IR^2\supset B(t^0,r) \to \IR^3, u(t_1, t_2) \mapsto \vektor{u_1(t_1, t_2) \\ u_2(t_1, t_2) \\ u_3(t_1, t_2)) $
$ \varphi: \IR^2 \supset B(t^0,r) \to \IR,  t = (t_1, t_2)^T \mapsto\varphi(t_1, t_2) := f(u_1(t_1, t_2), u_2(t_1, t_2), u_3(t_1, t_2), t_1, t_2) $

In dem Beweis wird die Funktion u auch in g gebraucht, so wie sie definiert ist.

Für eine einfachere Kettenregel könnte man die Funktion u
zu einer Funktion $ \tilde u : \IR^2\supset B(t^0,r) \to \IR^5, \tilde u(t_1, t_2) \mapsto \vektor{u_1(t_1, t_2) \\ u_2(t_1, t_2) \\ u_3(t_1, t_2) \\ u_4(t_1, t_2) \equiv t_1 \\ u_5(t_1, t_2) \equiv t_2 }$ erweitern.

Es ist dann $ \varphi: \IR^2 \supset B(t^0,r) \to \IR; t = (t_1, t_2)^T \mapsto\varphi(t_1, t_2) := f( \tilde u(t_1, t_2)) $.

Funktionalmatrix von f bzgl. $ \tilde u$: $J_f( \tilde u(t)) = \left( \bruch{\partial f}{\partial u_1} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_2} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_3} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_4} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_5} \tilde u(t) \right)$

Funktionalmatrix von $ \tilde u$: $J_{ \tilde u}(t) = \pmat{ \bruch{\partial u_1}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_1}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_2}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_2}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_3}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_3}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_4}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_4}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_5}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_5}{\partial t_2} (t) } = \pmat{ \bruch{\partial u_1}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_1}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_2}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_2}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_3}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_3}{\partial t_2} (t) \\ 1 &  0  \\ 0 &  1 }$

$ \varphi'(t) = J_f( \tilde u(t)) * J_{ \tilde u}(t) =  \left( \bruch{\partial f}{\partial u_1} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_2} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_3} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_4} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_5} \tilde u(t) \right) *  \pmat{ \bruch{\partial u_1}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_1}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_2}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_2}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_3}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_3}{\partial t_2} (t) \\ 1 &  0  \\ 0 &  1 } = $

$ = \left( \bruch{\partial f}{\partial u_1} \tilde u(t) *  \bruch{\partial u_1}{\partial t_1}(t) + \bruch{\partial f}{\partial u_2} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_2}{\partial t_1}(t)) + \bruch{\partial f}{\partial u_3} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_3}{\partial t_1}(t) + \bruch{\partial f}{\partial u_4} \tilde u(t) \quad  \bruch{\partial f}{\partial u_1} \tilde u(t) *\bruch{\partial u_1}{\partial t_2} (t) + \bruch{\partial f}{\partial u_2} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_2}{\partial t_2} (t) + \bruch{\partial f}{\partial u_3} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_3}{\partial t_2} (t) +\bruch{\partial f}{\partial u_5} \tilde u(t) \right)$

(Und jetzt fehlen mir Regeln, warum man das auseinander nehmen kann.)

Nachtrag:
Da in beiden Komponenten von $J_{\varphi}(t)$ Summen stehen, kann
nach den Regeln für die Addition von Matrizen, diese als Summe zweier
(1 x 2)-Matrizen schreiben:

$\left( \bruch{\partial f}{\partial u_1} \tilde u(t) *  \bruch{\partial u_1}{\partial t_1}(t) + \bruch{\partial f}{\partial u_2} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_2}{\partial t_1}(t)) + \bruch{\partial f}{\partial u_3} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_3}{\partial t_1}(t) + \bruch{\partial f}{\partial u_4} \tilde u(t) \quad  \bruch{\partial f}{\partial u_1} \tilde u(t) *\bruch{\partial u_1}{\partial t_2} (t) + \bruch{\partial f}{\partial u_2} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_2}{\partial t_2} (t) + \bruch{\partial f}{\partial u_3} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_3}{\partial t_2} (t) +\bruch{\partial f}{\partial u_5} \tilde u(t) \right) =$

$ = \left( \bruch{\partial f}{\partial u_1} \tilde u(t) *  \bruch{\partial u_1}{\partial t_1}(t) + \bruch{\partial f}{\partial u_2} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_2}{\partial t_1}(t)) + \bruch{\partial f}{\partial u_3} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_3}{\partial t_1}(t)  \quad  \bruch{\partial f}{\partial u_1} \tilde u(t) *\bruch{\partial u_1}{\partial t_2} (t) + \bruch{\partial f}{\partial u_2} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_2}{\partial t_2} (t) + \bruch{\partial f}{\partial u_3} \tilde u(t) * \bruch{\partial u_3}{\partial t_2} (t) \right) + \left(  \bruch{\partial f}{\partial u_4} \tilde u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_5} \tilde u(t) \right)$

Die erste Matrix der Summe kann man wieder als Produkt zweier
Matrizen schreiben.
Da $u_4$ und $u_5$ nur Projektionen auf eine Variable sind mit  
$u_4(t_1, t_2) \equiv t_1 $ und $u_5(t_1. t_2) \equiv t_2$,

ist $\bruch{\partial f}{\partial u_4} \tilde u(t) =  \bruch{\partial f}{\partial t_1}(t)$ und $ \bruch{\partial f}{\partial u_5} \tilde u(t) = \bruch{\partial f}{\partial t_2}(t)$.

Und man erhält:

$\left( \bruch{\partial f}{\partial u_1} u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_2} u(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial u_3} u(t) \right) *  \pmat{ \bruch{\partial u_1}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_1}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_2}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_2}{\partial t_2} (t) \\ \bruch{\partial u_3}{\partial t_1}(t) &  \bruch{\partial u_3}{\partial t_2} (t) } + \left( \bruch{\partial f}{\partial t_1}(t) \quad \bruch{\partial f}{\partial t_2}(t)  \right) =$

$ = f_u(u(t),t)\cdot u'(t)+f_t(u(t),t)$

>  
> Die Lösung ist:
>  
> [mm]\varphi'(t)=f_u(ut),t)\cdot u'(t)+f_t(u(t),t)[/mm]
>  
> LG
>  Taktoa

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Verallgemeinerte Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Sa 11.08.2018
Autor: Takota

Hallo meili

herzlichen Dank für Deine Bemühungen. Ich denke ich habe es soweit verstanden. Zur Abbildung u noch eine Frage:

Muß es nicht so heißen:
$ u: [mm] \IR^{n-m} \supset B(t^0,r) \to \IR^m, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] u(t) $

Also jedes t wird auf u(t) abgebildet?

Bei Wikipedia habe ich unter dem Thema "Satz von der impliziten Funktion" einen Abschnitt gefunden, bei der die allg. Kettenregel angewendet wird. Siehe unter "Zusammenfassung".

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion

Das hat ja parallen zu meinem Thema. Ich habe versucht mir das selbst herzuleiten. Ich schicke Dir mal eine PM meiner  schriftlichen Aufzeichnung.
Ist vielleicht nicht ganz 100% richtig (mehr skizzenhaft), aber für das Verständnis wohl ausreichen. :-)

LG
Takota




Bezug
                        
Bezug
Verallgemeinerte Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Sa 11.08.2018
Autor: meili

Hallo Takota,

> Hallo meili
>  
> herzlichen Dank für Deine Bemühungen. Ich denke ich habe
> es soweit verstanden. Zur Abbildung u noch eine Frage:
>
> Muß es nicht so heißen:
>   [mm]u: \IR^{n-m} \supset B(t^0,r) \to \IR^m, t \mapsto u(t)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


Ja, so ist es richtig.
Bei mir ist ein u an der falschen Stelle statt einem t.

>  
> Also jedes t wird auf u(t) abgebildet?

Ok.

Besser würde man das mit Gleichheitszeichen statt Pfeil screiben:

$ u: \IR^2\supset B(t^0,r) \to \IR^3, u(t_1, t_2) = \vektor{u_1(t_1, t_2) \\ u_2(t_1, t_2) \\ u_3(t_1, t_2)) $

und

$ \tilde u : \IR^2\supset B(t^0,r) \to \IR^5, \tilde u(t_1, t_2) = \vektor{u_1(t_1, t_2) \\ u_2(t_1, t_2) \\ u_3(t_1, t_2) \\ u_4(t_1, t_2) \equiv t_1 \\ u_5(t_1, t_2) \equiv t_2 } $

>  
> Bei Wikipedia habe ich unter dem Thema "Satz von der
> impliziten Funktion" einen Abschnitt gefunden, bei der die
> allg. Kettenregel angewendet wird. Siehe unter
> "Zusammenfassung".
>  
> https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion

Ja, hier wird die Kettenregel genauso angewendet wie in dem Beweis
zu den Lagrange-Multiplikatioren.

>  
> Das hat ja parallen zu meinem Thema. Ich habe versucht mir
> das selbst herzuleiten. Ich schicke Dir mal eine PM meiner  
> schriftlichen Aufzeichnung.
>  Ist vielleicht nicht ganz 100% richtig (mehr skizzenhaft),
> aber für das Verständnis wohl ausreichen. :-)
>  
> LG
>  Takota
>  
>
>  

Gruß
meili

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