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Verbände: Beweis von Eigenschaften
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Do 23.02.2006
Autor: dump_0

Hallo.

Bei folgender Aufgabe bin ich mir nicht ganz sicher wie ich sie so recht lösen soll, deshalb frage ich mal nach, also:

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Jeder endliche Verband ist vollständig
b) Jeder vollständige Verband ist beschränkt
c) Jeder beschränkte Verband ist endlich
d) Jeder endliche Vreband ist komplementär

zu a) Hier würde ich ein Gegenbsp. nehmen, weiß aber leider nicht ob das hier zulässig ist. Z.B. würde ich [tex]((0,1,2,3), \le)[/tex] als Verband nehmen wobei M das offene Intervall (0,1,2,3) ist. Laut Def. des vollst. Verbands muss für jede Teilmenge asu M inf, sup existieren, was hier z.B. für 0 und 1 nicht der Fall wäre.

b) Sei [tex](M, \le)[/tex] ein vollständiger Verband. Angenommen dieser Vverband ist nicht beschränkt. Dann gibt es kein max(M) bzw. kein min(M), also kein inf{M}, sup{M}, womit die Eigenschaften für einen vollständigen Verband aber nicht mehr erfüllt wären, da M Teilmenge von sich selbst ist.
Also muss der Verband beschränkt sein.

c) Sei [tex](M, \le)[/tex] ein beschränkter Verband. Angenommen dieser Verband ist unendlich. Dann gäbe es für M kein sup{M}, also auch kein max(M), da M ja unendlich ist. Somit wäre der Verband nicht mehr vollständig, da nur inf für jede Teilmenge erfüllt wäre. Da kein max(M) exisitiert, kann der Verband insbesondere auch nicht beschränkt sein (nur nach unten beschränkt).

d) Hier würde ich wieder mit einem Gegenbeispiel argumentieren, z.B. mit dem Verband [tex]({1,2,4,8}, /)[/tex]. Egal welche Elemente man wählt, das inf bzw. sup dieser 2 Elemente ist stets eines dieser 2 Elemente.

Kann ich die Aufgaben so einfach lösen oder muss ich mehr beachten ?

Grüße
[mm] dump_0 [/mm]

        
Bezug
Verbände: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Do 23.02.2006
Autor: mathiash

Hallo und einen närrischen Gruß an alle Freunde
von Ordnungsstrukturen und Universeller Algebra (sozusagen dem
Schweizer Taschenmesser unter den mathematischen Werkzeugen),

zu (a): Also Deine Schreibweise verstehe ich leider nicht so ganz. Probieren wir doch mal, zunaechst die
Begriffe zu klaeren:

Ein Verband  [mm] (L,\vee, \wedge,0,1) [/mm] heisst endlich, falls L eine endliche Menge ist, und vollstaendig, falls
zu jeder Teilmenge X von L sup (X) und inf(X) existieren.

Da fuer einen endlichen Verband auch jede Teilmenge X von L endlich ist, folgt sofort Vollstaendigkeit:

Sei zB [mm] X=\{x_1,\ldots , x_n\}\subseteq [/mm] L, dann sind

[mm] sup(X)=x_1\vee\ldots \vee x_n [/mm]   (Klammern kann man wg. Assoziativitaet weglassen, und

[mm] inf(X)=x_1\wegde\ldots \wedge x_n. [/mm]

Zu (b): Ein Verband  [mm] (M,\leq) [/mm] heisst beschraenkt, falls  es keine unendliche Kette

               [mm] x_0\leq x_1\leq\ldots \leq x_n\leq\ldots [/mm] von paarweise verschiedenen Elementen [mm] x_i\in [/mm]  M gibt, richtig ?

Annahme:  [mm] (M,\leq) [/mm] vollstaendig und nicht beschraenkt. Dann nimm solch eine Kette

               [mm] x_0\leq x_1\leq\ldots\leq x_n\leq \ldots [/mm]

Angenommen, x=sup [mm] (X)\in [/mm] M mit [mm] X=\{x_n|n\in\IN_0\}, [/mm] dann muss gelten:

[mm] \forall n\in\IN_0\:\: x_n\leq [/mm] x, [mm] \: x_n\neq [/mm] x

Hier sieht man: Mit dieser Def. von Beschraenktheit gilt die Aussage in (b) nicht, denn zB [mm] \IN_0\cup\{w\}, [/mm] wobei
w die Rolle des 1-Elements uebernimmt und auf [mm] \IN_0 [/mm] die Standardordnung genommen wird,
ist ein vollstaendiger nicht-beschraenkter Verband.

Falls die Def. von Beschraenktheit anders lautet: Bitte nochmal nachfragen !

Zu (c): Nein, zB   [mm] \{0,1\}\cup\{(1\slash 2,i)\: |\: i\in\IN\} [/mm]

mit 0< [mm] (1\slash [/mm] 2,i) <1

fuer alle i ist beschraenkt, aber nicht endlich.

Zu (d):
Ein ganz kleines Beispiel ist [mm] \{0,1,2\} [/mm] mit der Standard-Ordnung. Kann man von Hand nachpruefen.

Gruss,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Verbände: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 Do 23.02.2006
Autor: dump_0

uff, da lag ich ja wohl völlig daneben :(
Danke für deine Hilfe, ist ja doch nicht ganz so einfach wie ich dachte.

Grüße
[mm] dump_0 [/mm]

Bezug
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