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| Aufgabe | Untersuchen Sie ob es sich um einen Verband handelt.
Gegeben: M={2,3,4,5,6,7,12,25} mit R="|", also Teilerrelation. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab die Aufgabe schon probiert, nur hab ich im Grunde ein Verständnisproblem des ganzen.
Lösung (nicht komplett):
die Paare stehen dann in der Relation bei aRb mit [mm] a\*n=b [/mm] mit n [mm] \in [/mm] nat. Zahlen (ohne Null).
Also
R={(2,2),(2,4),(2,6),(2,12),(3,3),(3,6),(3,12),(4,4),(4,12),(5,5),(5,25),(6,6),(6,12),(7,7),
(12,12),(25,25)}
Die Definition vom Verband lautet ja:
Eine halbgeordnete Menge M ist Verband : [mm] \gdw [/mm] zu jeder nichtleeren Teilmenge B [mm] \subseteq [/mm] M in M sowohl das Infimum ( [mm] inf_{M}B) [/mm] existiert und das Supremum ( [mm] sup_{M}B) [/mm] existiert.
Wenn ich mir nun die Relationspaare (a,b) anschaue, würde
ich als Lösung sagen, da es bei a=7 kein b gibt (da [mm] a\not=b [/mm] sein muss)
und bei a=12 kein b gibt (da [mm] a\not=b [/mm] sein muss -> siehe Frage 2)
ist kein volständiger Verband. Wäre das vollkommen richtig ???
Nun weiss ich nicht weiter...
1. Frage: beim Verband handelt es sich ja um eine 2 elementige Teilmenge
B={a,b}. Heisst das jetzt das jetzt a [mm] \not= [/mm] b sein muss oder Nicht.
Ich denk mir nämlich, beim Verband handelt es sich um eine 2 elementige
Teilmenge und wenn a=b wäre, dann wäre die Menge ja nicht mehr
2 elementig. Also fällt das ja raus oder nicht und bedeutet somit, dass
a [mm] \not= [/mm] b sein MUSS oder nicht ???
2. Kann das Supremum auch gleichzeitig Infimum sein ???
Bei (7,7) ist das Infimum ja 7 und das Supremum auch. Heisst das jetzt
bei 7 ist das Infimum gleich dem Supremum oder bedeutet das wenn
sup=inf, das 7 gar kein Supremum, Infimum hat ???
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Hallo,
also die Grundmenge ist [mm] \{2,3,4,5,6,7,12,25\}, [/mm] und es soll
[mm] a\leq [/mm] b : gdw a teilt b gelten (Def. der Relation [mm] \leq).
[/mm]
Frage ist dann: Erfuellt die Grundmenge mit der Relation [mm] \leq [/mm] die Axiome fuer Verbaende.
Suprema und Infima fuer allg. Teilmengen der Grundmenge existieren i.a. nicht, aber
in Verbaenden natuerlich dann, wenn die Grundmenge endlich ist (zB hier).
Es muessten also hier auch [mm] \inf [/mm] M und sum M fuer
[mm] M=\{2,3,4,5,6,7.12,25\} [/mm] existieren, tun sie aber nicht
(denn zB 2 und 3 haben ggT 1, aber 1 ist nicht in M).
Also: Kein Verband !
Viele Gruesse,
Mathias
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