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Verbindungsraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 So 03.07.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Seien K ein Körper, [mm] V=A_{5}(K). [/mm]

[mm] Y=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+K*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+K*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}, [/mm]

[mm] Z=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+K*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+K*\vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1}. [/mm]

Man bestimme den Durchschnitt D und den Verbindungsraum V von Y und Z.Man gebe die Richtungsräume und die Dimensionen von D und V an.

Hallo^^,

Ich hab das ausgerechnet, aber bei manchen Dingen wusste ich nicht wie man das berechnet.

Also der Durchschnitt ist zunächst [mm] D=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+K*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \\ 0}. [/mm]

Der Richtungsraum von D ist [mm] R_{D}=K*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \\ 0} [/mm] und die Dimension ist 1. Sitmmt das so?

Jetzt weiß ich nicht genau wie man den Verbindungsraum bestimmt, ich habs so gemacht [mm] V=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+u*\vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1}. [/mm]

Der Richtungsraum von V ist dann [mm] r*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+u*\vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1} [/mm]

und die Dimension von V ist 3.
Ich bin mir so unsicher,ob das richtig ist.

Vielen Dank
lg

        
Bezug
Verbindungsraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 So 03.07.2011
Autor: meili

Hallo,

> Seien K ein Körper, [mm]V=A_{5}(K).[/mm]
>  
> [mm]Y=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+K*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+K*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1},[/mm]
>  
> [mm]Z=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+K*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+K*\vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1}.[/mm]
>  
> Man bestimme den Durchschnitt D und den Verbindungsraum V
> von Y und Z.Man gebe die Richtungsräume und die
> Dimensionen von D und V an.
>  Hallo^^,
>  
> Ich hab das ausgerechnet, aber bei manchen Dingen wusste
> ich nicht wie man das berechnet.
>  
> Also der Durchschnitt ist zunächst [mm]D=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+K*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \\ 0}.[/mm]

[ok]

>  
> Der Richtungsraum von D ist [mm]R_{D}=K*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> und die Dimension ist 1. Sitmmt das so?

[ok]

>  
> Jetzt weiß ich nicht genau wie man den Verbindungsraum
> bestimmt, ich habs so gemacht [mm]V=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+u*\vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1}.[/mm]
>  
> Der Richtungsraum von V ist dann [mm]r*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+u*\vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1}[/mm]

Ja,
[mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
ist ein Erzeugendensystem des Richtungsraum von V.

Um die Dimension von V zu bestimmen, muss man prüfen,
ob diese Vektoren linear unabhängig sind
und sie sich ggf. zu einer Basis reduzieren lassen.

In diesem Fall ist dann
[mm]V=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]

>
> und die Dimension von V ist 3.

[ok]

>  Ich bin mir so unsicher,ob das richtig ist.
>  
> Vielen Dank
>  lg

Es scheint, Du musst dieselbe Aufgabe bearbeiten wie Nadia..

Gruß
meili

Bezug
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