Vereinfachung bei Volumeninte < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 09.08.2016 | | Autor: | taugenix |
Hallo,
gegeben ist folgendes Potential:
[mm] V(r)=\frac{Ze}{|\bold{r}|}-\int\frac{en(r')}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3r'
[/mm]
Die Konstanten sind erstmal nicht weiter wichtig, nur zum Verständnis:
Z: Kernladungszahl, e: Elementarladung
Dabei ist r der Abstand eines Elektrons vom Atomkern. Dasselbe gilt für r', wobei es sich auf ein anderes Elektron bezieht.
n(r) ist eine Funktion, die mir die Elektronendichte als Funktion des Abstandes r vom Kern bei r=0 liefert. [mm] |\bold{r}-\bold{r'}| [/mm] ist der Abstand zwischen je zwei verschiedenen Elektronen - hier sind die "r's" fettgedruckt, es handelt sich um Ortsvektoren.
Mal abgesehen davon, dass mich diese Notation etwas verwirrt (scheinbar ist es im amerikanischen üblich den Differentialoperator beim Volumenintegral d^3r statt dV zu nennen und außerdem wird r' einfach so in den Raum gestellt ohne zu erklären, was denn der Unterschied zu r r ist...), frage ich mich ob es möglich ist das Integral zu vereinfachen? Ich habe eine die Dichtefunktion n(r) und möchte das ganze numerisch integrieren...
Zweite Frage: Gehe ich recht in der Annahme, dass [mm] d^3 r'=r'^2\sin\theta dr'd\theta d\phi? [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Di 09.08.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo,
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> gegeben ist folgendes Potential:
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> [mm]V(\vec{r})=\frac{Ze}{|\bold{r}|}-\int\frac{en(r')}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3r'[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Die Konstanten sind erstmal nicht weiter wichtig, nur zum
> Verständnis:
> Z: Kernladungszahl, e: Elementarladung
> Dabei ist r der Abstand eines Elektrons vom Atomkern.
> Dasselbe gilt für r', wobei es sich auf ein anderes
> Elektron bezieht.
Bist du dir da sicher!? Also ich wuerde denken, dass $\vec{r}$ irgendein Ort ist (beispielsweise! eines Elektrons) und dass $\vec{r}^{\ \prime}$ eher der Ortsvektor beliebig vieler Elektronen ist, deren raeumliche Verteilung durch die Dichte $n$ gegeben ist. Man kann sich ein Integral ja auch als (Limes einer) Summe vorstellen, d.h. was du hier tust, ist, dass du ueber ganz viele (infesitimale) Elektronen summierst.
Haette man wirklich nur zwei Elektronen, stuende dort uebrigens (von etwaigen Vorzeichen und Konstanten mal abgesehen)
$V(r)=\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}^{\ \prime}|$
(was ja im wesentlichen wie der erste Term aussieht).
> n(r) ist eine Funktion, die mir die Elektronendichte als
> Funktion des Abstandes r vom Kern bei r=0 liefert.
> [mm]|\bold{r}-\bold{r'}|[/mm] ist der Abstand zwischen je zwei
> verschiedenen Elektronen - hier sind die "r's"
> fettgedruckt, es handelt sich um Ortsvektoren.
Siehe oben!
> Mal abgesehen davon, dass mich diese Notation etwas
> verwirrt (scheinbar ist es im amerikanischen üblich den
> Differentialoperator beim Volumenintegral d^3r statt dV zu
Kann man machen, habe ich im Studium auch so gelernt!
> nennen und außerdem wird r' einfach so in den Raum
> gestellt ohne zu erklären, was denn der Unterschied zu r r
> ist...), frage ich mich ob es möglich ist das Integral zu
Das habe ich gerade versucht, dir oben zu erklaeren. [mm] $\vec{r}$ [/mm] ist der Ort, an dem du das Potential wissen moechtest, [mm] $\vec{r}^{\prime}$ [/mm] die Positionen der Elektronen der Dichte $n$.
> vereinfachen? Ich habe eine die Dichtefunktion n(r) und
Inwiefern moechtest du das denn vereinfacht haben!?
> möchte das ganze numerisch integrieren...
Ist $n$ analytisch gegeben!? Wenn ja, wie sieht $n$ aus?
>
> Zweite Frage: Gehe ich recht in der Annahme, dass [mm]d^3 r'=r'^2\sin\theta dr'd\theta d\phi?[/mm]
>
Wenn du in Kugelkoordintan transformierst, kann man das wohl tun. Es waere aber geschickter, [mm] $\theta^{\prime}$ [/mm] und [mm] $\phi^{\prime}$ [/mm] zu schreiben, da man ueblicherweise [mm] $r,\theta,\phi$ [/mm] fuer [mm] $\vec{r}$ [/mm] benutzt.
Gruss,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Di 09.08.2016 | | Autor: | taugenix |
Hallo Chris,
Danke für deine Antwort. Ich habe nun nach etwas googeln eine Möglichkeit gefunden die Integration zu umgehen. Es handelt sich hierbei nämlich um das Hartree-Potential und statt das ganze zu integrieren kann man auch die Poisson-Gleichung lösen....
Danke trotzdem.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:58 Mi 10.08.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo Chris,
Huhu,
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> Danke für deine Antwort. Ich habe nun nach etwas googeln
> eine Möglichkeit gefunden die Integration zu umgehen. Es
Nicht so nett, die alte Nachricht von dir hier komplett zu ersetzen. Schreib lieber 'ne neue Mitteilung!
> handelt sich hierbei nämlich um das Hartree-Potential und
Hartree klingt nach Quantenmechanik. Ist es ein Problem der QM?
> statt das ganze zu integrieren kann man auch die
> Poisson-Gleichung lösen....
Ist das Integral nicht gerade die Loesung der Poissongleichung!? Wie willst du sonst die Poissongleichung loesen!?
So langsam frage ich mich, was die genaue Aufgabenstellung war!?
>
> Danke trotzdem.
Noch eben zu deinem Integral. Wenn du Kugelkoordinaten benutzt, erhaeltst du
[mm] $\int_{\IR^3} \frac{n(r^{\prime})}{|\vec{r}-\vec{r}^{\ \prime}|}=\int_{\phi^{\prime}=0}^{2\pi} \int_{\theta^{\prime}=0}^{\pi} \int_{r^{\prime}=0}^{\infty} d\phi^{\prime} d\theta^{\prime} dr^{\prime} r^{\ \prime 2}\sin\theta^{\prime}\frac{n(r^{\prime})}{\sqrt{r^2+r^{\prime}^2-2rr^{\prime}\cos\theta^{\prime}}}$
[/mm]
Die Integration nach [mm] $\phi^{\prime}$ [/mm] und nach [mm] $\theta^{\prime}$ [/mm] laesst sich analytisch durchfuehren, so dass tatsaechlich nur noch ein eindimensionales Integral nach [mm] $r^{\prime}$ [/mm] uebrigbleibt, das du mit den ueblichen Methoden loesen kannst.
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Mi 10.08.2016 | | Autor: | taugenix |
> Nicht so nett, die alte Nachricht von dir hier komplett zu
> ersetzen. Schreib lieber 'ne neue Mitteilung!
Die alte Nachricht war übersät mit überflüssigen Fragen. Außerdem dachte ich, dass sie ungelesen war da editierbar.
> Hartree klingt nach Quantenmechanik. Ist es ein Problem der
> QM?
So ist es.
> Ist das Integral nicht gerade die Loesung der
> Poissongleichung!? Wie willst du sonst die Poissongleichung
> loesen!?
Fall du interessiert bist. In folgender PDF ab Seite 2
http://homepage.univie.ac.at/cesare.franchini/teaching/ESM/dft_code.pdf
> So langsam frage ich mich, was die genaue Aufgabenstellung
> war!?
Das Integral numerisch zu lösen. Außerdem habe ich Hilfe bei der Interpretation gebraucht. Das Lehrbuch aus dem ich die Gleichung habe, hat nämlich die Vektor-Notation nicht konsequent durchgezogen. Mittlerweile kenne ich den Namen des Potentials und habe in anderen Quellen eine verständlichere Formulierung gefunden.
> Noch eben zu deinem Integral. Wenn du Kugelkoordinaten
> benutzt, erhaeltst du
>
> [mm]\int_{\IR^3} \frac{n(r^{\prime})}{|\vec{r}-\vec{r}^{\ \prime}|}=\int_{\phi^{\prime}=0}^{2\pi} \int_{\theta^{\prime}=0}^{\pi} \int_{r^{\prime}=0}^{\infty} d\phi^{\prime} d\theta^{\prime} dr^{\prime} r^{\ \prime 2}\sin\theta^{\prime}\frac{n(r^{\prime})}{\sqrt{r^2+r^{\prime}^2-2rr^{\prime}\cos\theta^{\prime}}}[/mm]
>
> Die Integration nach [mm]\phi^{\prime}[/mm] und nach [mm]\theta^{\prime}[/mm]
> laesst sich analytisch durchfuehren, so dass tatsaechlich
> nur noch ein eindimensionales Integral nach [mm]r^{\prime}[/mm]
> uebrigbleibt, das du mit den ueblichen Methoden loesen
> kannst.
hätte es mir intuitiv etwas einfacher gemacht. Etwa so:http://math.stackexchange.com/questions/377434/hartree-potential-coulomb-in-spherical-symmetry-expansion-of-spherical-harmon
Danke nochmal für deine Hilfe.
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