Vereinfachung char. Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Cabby |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
A = [mm] \pmat{- 11 & 18 & -6 \\ -6 & 10 & -3 \\ 0 & 0 & 1 } \in M(3,\IC)
[/mm]
Zeigen Sie, Ist [mm] \lambda \in \IC [/mm] ein Eigenwert von A, so gilt [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] -2 = 0 |
Hallo liebes Forum. Ich bin grad kräftig am Büffeln für eine Klausur und die Aufgabe verstehe ich nicht.
Ich habe das charakteristische Polynom berechnet und komme auf
$(1 - [mm] t)*(t^2 [/mm] + t - 2) = - [mm] t^3 [/mm] + 3t - 2$
Das [mm] t^2 [/mm] + t -2 ist schon mal gut und so stehts ja auch in der Aufgabe. Dieses Polynom ergibt die Lösungen t=-2 und t=1. t=1 ist ja im Faktor (1-t) schon mitdrin, deswegen kann man den weglassen.
Der Nachweis, der in der Lektüre steht, die ich gerade studiere, schlägt folgendes vor:
p [mm] \in \IC[/mm] [t] Polynom mit p(A) = 0. Sei [mm] \lambda \in \IC [/mm] Eigenwert von A, v der dazugehörige Eigenvektor
[mm] P(\lambda)*v [/mm] = P(A)(v) = 0 [mm] \Rightarrow P(\lambda) [/mm] = 0, da v [mm] \not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - 2 = 0 [mm] \Box
[/mm]
Ich verstehe den Beweis nicht. Wie kann man damit auf die Gleichung [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - 2 = 0 schließen? Und was sagt [mm] P(\lambda)*v [/mm] = P(A) (v)
Das verstehe ich alles hinten und vorne nicht.
Wäre lieb würde mir das mal jemand Schritt für Schritt erklären.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei die Matrix
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> A = [mm]\pmat{- 11 & 18 & -6 \\ -6 & 10 & -3 \\ 0 & 0 & 1 } \in M(3,\IC)[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Lösung funktioniert ja so:
Du berechnest die Eigenwerte der Matrix A, erhältst -2, 1, 1, bist Dir aus gewissen Gründen sicher, daß es keine weiteren Eigenwerte gibt und kannst direkt vorrechnen, daß [mm] (-2)^2+(-2)-2=0 [/mm] und [mm] 1^2 [/mm] +1 -2=0 richtig ist.
So würde ich das wohl auch machen.
Die Lösung Deines Buches geht so:
Sie setzen in [mm] P(x)=x^2+x+2 [/mm] die Matrix A ein und rechnen nach, daß [mm] P(A)=A^2+A-2E=Nullmatrix [/mm] richtig ist.
Nun geht's so weiter: sei v ein Eigenvektor zum EW [mm] \lambda.
[/mm]
Es ist
Nullvektor= [mm] Nullmatrix*v=P(A)*v=(A^2+A-2E)v=A^2v+Av-2=\lambda^2 v+\lambda [/mm] v [mm] -2v=(\lambda^2 +\lambda-2)v
[/mm]
Da [mm] v\not=0 [/mm] (Eigenvektor!) folgt [mm] \lambda^2 +\lambda-2=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Cabby |
Da wurden dann aber ganz viele Schritte weggelassen :(
Vielen Dank für die total schnelle Antwort. Ist hier ja ein super Forum 
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