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Vereinigung offener Mengen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Mo 07.10.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Seien [mm] A_1, ..., A_n [/mm]  Teilmengen von [mm] \IR [/mm].
Sind die [mm] A_n [/mm] offen für alle [mm] n \in \IN [/mm], so  ist auch [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_n [/mm] offen.


Hallo,
wir haben die Aufgabe so gelöst:

Sei [mm]x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm]. Sei [mm] n \in \IN [/mm] mit [mm] x \in A_n [/mm].

[mm]A_n[/mm] offen [mm]\Rightarrow \exists \espilon > 0[/mm] mit [mm] ]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \subseteq A_n [/mm].

Also [mm] ]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm].
Also ist [mm]\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm] offen.



        
Bezug
Vereinigung offener Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mo 07.10.2019
Autor: fred97


> Seien [mm]A_1, ..., A_n[/mm]  Teilmengen von [mm]\IR [/mm].
>  Sind die [mm]A_n[/mm]
> offen für alle [mm]n \in \IN [/mm], so  ist auch [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_n [/mm]
> offen.
>  
> Hallo,
>  wir haben die Aufgabe so gelöst:
>  


Vorweg: Du hast  das  richtig  gemacht,  nur  die Notation würde ich  etwas  ändern.


> Sei [mm]x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm]. Sei [mm]n \in \IN[/mm] mit
> [mm]x \in A_n [/mm].

Da der Index  n  schon im Vereinigungszeichen  verwendet  wird,  schreibe  besser

  ......es ex. ein j [mm] \in \IN [/mm] mit  x [mm] \in A_j [/mm] .......


>  
> [mm]A_n[/mm] offen [mm]\Rightarrow \exists \espilon > 0[/mm] mit [mm]]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \subseteq A_n [/mm].

auch  hier [mm] A_j [/mm]  statt  [mm] A_n [/mm]

>  
> Also [mm]]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm].
>  

Das ist  O.K


> Also ist [mm]\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n[/mm] offen.
>  

richtig.


>  


Bezug
        
Bezug
Vereinigung offener Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:33 Mo 07.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

auch wenn dein Beweis nicht zu beanstanden ist, eine Verständnisfrage für dich:

> Sei [mm]x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm]. Sei [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]x \in A_n [/mm]

Warum sollte es so ein [mm] A_n [/mm] geben?

Gruß,
Gono

Bezug
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