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| Aufgabe | | Zeige, dass eine Gruppe niemals Vereinigung zweier echter Untergruppen sein kann. |
Hallo zusammen!
Ich denke, ich habe eine Lösung, doch da wir keine Definition einer "echten" Untergruppe hatten, bin ich mir nicht sicher. Das ist meine Lösung:
[mm] U_1, U_2 [/mm] echte Untergruppen [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] U_1 \not= G \not= U_2 [/mm] und [mm] \forall x \in U_1 \quad : x \not\in U_2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Sei [mm] x \in U_1, y \in U_2 \Rightarrow xy \in U_1 \vee xy \in U_2 [/mm] Sei [mm] xy =:c \in U_1 \Rightarrow cx^{-1} \in U_1 [/mm] aber [mm] cx^{-1} = y \in U_2 \Rightarrow [/mm] Widerspruch! Analog für [mm] xy=:c \in U_2 [/mm].
Ist das so richtig?
LG fagottator
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Hi,
> Zeige, dass eine Gruppe niemals Vereinigung zweier echter
> Untergruppen sein kann.
> Hallo zusammen!
>
> Ich denke, ich habe eine Lösung, doch da wir keine
> Definition einer "echten" Untergruppe hatten, bin ich mir
> nicht sicher. Das ist meine Lösung:
>
> [mm]U_1, U_2[/mm] echte Untergruppen [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]U_1 \not= G \not= U_2[/mm]
Besser [mm]U_1,U_2 \subsetneq G[/mm]
> und [mm]\forall x \in U_1 \quad : x \not\in U_2[/mm]
Schlecht notiert. Ich denke du meinst [mm]U\leq G[/mm] echte Untergruppe, falls U eine Untergruppe von G und [mm]\exists g\in G : g\not\in U[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Sei [mm]x \in U_1, y \in U_2 \Rightarrow xy \in U_1 \vee xy \in U_2[/mm]
> Sei [mm]xy =:c \in U_1 \Rightarrow cx^{-1} \in U_1[/mm] aber [mm]cx^{-1} = y \in U_2 \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch! Analog für [mm]xy=:c \in U_2 [/mm].
Da ist kein Widerspruch (zu mindest nicht der gewünschte): [mm]xy\in U_1 \vee xy\in U_2[/mm] heißt doch xy liegt in [mm]U_1[/mm] und/oder in [mm]U_2[/mm].
Du hast gezeigt, dass es ein Element geben, welches in [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] liegt. Du solltest jedoch zeigen, dass nicht gilt: Für alle elemente g in G gilt:g liegt entweder nur in [mm]U_1[/mm] oder in [mm]U_2[/mm].
Noch ein Fehler [mm] $cx^{-1}=xyx^{-1}\neq [/mm] y$. Steht da etwas von abelschen Gruppen?
Mein Beweis würde ich wie folgt machen:
Annahme: U,V zwei echte Untergruppen
- wähle [mm] $v\in V\setminus [/mm] U, [mm] u\in U\setminus [/mm] V$ (Frage an dich warum geht das?)
- Warum kann uv nicht in U liegen?
- Warum kann uv nicht in V liegen?
- Was heißt das?
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> Ist das so richtig?
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> LG fagottator
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