Vereinigungen in Semiringen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:02 Do 20.10.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Zeigen sie: Man kann jede Vereinigung von Mengen aus einem Semiring A als disjunkte Vereinigung von Mengen aus A schreiben. |
Hi!
Hier habe ich leider keine Idee.
Nehmen wir der Übersichtlichkeit halber erst mal 2 Mengen X, Y [mm] \in [/mm] A.
Dann will ich $X [mm] \cup [/mm] Y$ ja irgendwie als disjunkte Vereinigung darstellen. Nun habe ich den Standardtrick probiert, also $X [mm] \cup [/mm] Y = X [mm] \cup (Y\backslash [/mm] X)$. Beide Mengen sind nun disjunkt, aber nun muss ich zeigen, dass ich auch [mm] $(Y\backslash [/mm] X)$ irgendwie als Vereinigung disjunkter Mengen darstellen kann. Und hier drehe ich mich dann im Kreis. Ich kann [mm] $(Y\backslash [/mm] X)$ wieder als Vereinigung von Mengen aus A schreiben (Semiringeigenschaft), die erst mal nicht disjunkt sein müssen, also mache ich sie disjunkt, wozu ich dann wieder eine Vereinigung brauche, die ich disjunkt machen muss usw.
Kann mir da jemand bitte helfen?
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Hallo Teufel,
nur so eine Idee:
> ...aber nun muss ich zeigen, dass
> ich auch [mm](Y\backslash X)[/mm] irgendwie als Vereinigung
> disjunkter Mengen darstellen kann. Und hier drehe ich mich
> dann im Kreis. Ich kann [mm](Y\backslash X)[/mm] wieder als
> Vereinigung von Mengen aus A schreiben
> (Semiringeigenschaft), die erst mal nicht disjunkt sein
> müssen, also mache ich sie disjunkt, wozu ich dann wieder
> eine Vereinigung brauche, die ich disjunkt machen muss
> usw.
Eben: usw. Am Ende gelangst Du (bei endlichen Mengen) an den Punkt, wo die zu betrachtenden Mengen nur jeweils ein Element beinhalten und keine zwei Mengen gleich sind, mithin alle untereinander disjunkt.
Oder? Das wäre ein Reduktionsbeweis.
Wenn aber auch unendliche Mengen erlaubt sind - und die Aufgabe schließt solche ja nicht aus -, dann bleibt Dir m.E. nur ein Widerspruchsbeweis: Wie muss denn eine Vereinigung von Mengen aussehen, die nicht als Vereinigung disjunkter Mengen dargestellt werden kann? Gibt es ein Element dieser Vereinigung, dass zwingend in zwei oder mehr der Ausgangsmengen enthalten sein muss?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Do 20.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ich frage mich gerade, wieso die Behauptung eigentlich nur in Halbringen gelten soll. Stimmt das nicht generell, oder übersehe ich etwas? Ich fürchte, in Maßtheorie habe ich komplett geschlafen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Do 20.10.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Semiringe stehen ja ganz unten in der Mengensystemhierarchie. Also gilt die Aussage auch für alle "höheren" Gebilde, wie Ringe, Sigmaringe, Algebren und Sigmaalgebren. Bei Dynkin-Systemen müsste das auch gehen.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:06 Do 20.10.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für den Anstoß. Aber irgendwie drehe ich mich auch da im Kreis. Ich nehme also an, dass es ein [mm] $A:=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$ [/mm] mit [mm] $A_i\in [/mm] S$ (Semiring S) gibt, sodass sich A niemals schrieben lässt als [mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i$ [/mm] mit [mm] $B_i\inS$. [/mm] Dann muss es ein Element [mm] $a\in [/mm] A$ geben, dass in mindestens 2 der [mm] B_i [/mm] vorkommt. Seien das im glücklichsten Fall einfach mal nur [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2.
[/mm]
Dann betrachte [mm] $A=B_1 \cup B_2\backslash B_1 \cup \bigcup_{i=3}^{\infty}B_i$. [/mm] a kommt dann entweder nur in [mm] B_1 [/mm] vor (das wäre gut!) oder aber in [mm] $B_2\backslash B_1$. [/mm] Ließe sich [mm] $B_2\backslash B_1$ [/mm] nun auch als disjunkte Vereinigung von Mengen aus S beschreiben, wäre auch alles gut. Nun kann aber wieder der Fall eintreten, dass [mm] $B_2\backslash B_1$ [/mm] genau so eine widerspenstige Menge wie A ist, sich also nicht als disjunkte Vereinigung von mengen aus S darstellen lässt. Im schlimmsten Fall kann das a ja auch wieder in mehreren Mengen liegen, mit denen man [mm] $B_2\backslash B_1$ [/mm] bilden kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mo 24.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Do 20.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Teufel,
gemäß der Definition von Semiring bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia lässt sich [mm] $Y\setminus [/mm] X$ per Definitionem als Vereinigung paarweise disjunkter Elemente von A schreiben. Hattet ihr eine andere Definition?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Do 20.10.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, bei uns wurde nur gefordert, dass [mm] $X\backslash [/mm] Y$ als Vereinigung von Mengen aus dem Semiring darstellbar sein soll. Habe auch schon rumgeschaut, ob ich im Internet Ansätze finde, aber überall werden Semiringe wie auf Wikipedia definiert und deshalb findet man nirgendwo einen Beweis dafür.
Aber natürlich rechnet es sich mit disjunkten Mengen besser, daher definieren wohl alle die Semiringe so, und de Aufgabe rechtfertigt das, sofern die Aussage überhaupt stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Mo 24.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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