Vergleich Modul mit VR (MC) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A = [mm] (a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{n}) [/mm] ein Tupel von Elementen eines R- Moduls m [mm] \not= [/mm] {0}. Wahr oder falsch:
(1) Ist A frei, so ist keiner der [mm] a_{i} [/mm] eine Linearkombination über R der anderen [mm] a_{j}.
[/mm]
(2) Ist keines der [mm] a_{i} [/mm] eine Linearkombination über R der anderen [mm] a_{j}, [/mm] so ist A frei.
(3) Die Darstellung eines Elements von M als Linearkombination über einer festen Basis von M ist stets eindeutig.
(4) Wenn jedes Element von M als Linearkombination über A ausdrückbar ist, dann ist A eine Basis von M.
(5) Jeder Modul-Homomorphismus M [mm] \to [/mm] M' durch seine Wirkung auf eine Basis von M bereits eindeutig bestimmt.
(6) Jeder Modulhomomorphismus M [mm] \to [/mm] M' durch seine Wirkung auf ein nicht- freies Erzeugendensystem von M bereits eindeutig bestimmt.
(7) Ist A eine Basis von M, so ist jede Abbildung A [mm] \to [/mm] M' in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M [mm] \to [/mm] M' fortsetzbar.
(8) Wird M von A erzeugt, so ist jede Abbildung A [mm] \to [/mm] M' in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M [mm] \to [/mm] M' fortsetzbar.
(9) Wird M von A erzeugt, und ist kein Element von A eine Linearkombination anderer Elemente von A, so ist jede Abbildung A [mm] \to [/mm] M' in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M [mm] \to [/mm] M' fortsetzbar.
(10) M hat eine Basis.
(11) M hat eine Teilmenge, die M erzeugt und von der kein Element Linearkombination der anderen ist. |
Hallo...
diese Aufgabe macht mir etwas Probleme, weil ich immer wieder von einem VR ausgehen will. Ich hoffe das mir jemand sagen kann ob meine Ideen richtig sind bzw. Mir Helfen kann wo es mir noch nicht ganz klar ist.
(1) richtig
frei bedeutet ja das ein Modul eine Basis besitzt [mm] \to [/mm] eine Basis ist ja eine maximale l.u. Teilmenge von R [mm] \to [/mm] also ist [mm] a_{i} [/mm] nicht als Linearkombination vo [mm] a_{j} [/mm] darstellbar
(2) Falsch
nur das das [mm] a_{i} [/mm] nicht als Linearkombination der [mm] a_{j} [/mm] darstellbar ist, bedeutet nur das sie l.u,. sind aber nicht das sie eine Basis des Moduls bilden.
(3) Richtig
Die Darstellung über einer Basis ist stets eindeutig.
(4) Richtig
Selbe Begründung wie bei 3.
(5) Richtig
Gilt wie im VR.
(6) Falsch
Habe ich jedoch leider keine Begründung für, könnte es mir bitte jemand erklären?
(7) Richtig
Es entsteht ein Fortsetzungshomomorphismus
(8) Falsch
Funktioniert nur mit Basis.
(9) Richtig
Auch hier fehlt mir leider eine passende Begründung.
(10) Falsch
Denn nicht jedes Modul muss eine Basis haben.
(11) Falsch
Denn dann müsste es eine Basis sein, die braucht ein Modul aber nicht.
Kann mir jemand weiter helfen?..ich wäre echt dankbar.
LG Schmetterfee
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Hallo
ich bin es nochmal verzweifle an der obrigen Aufgabe.. kann mir vll jemand den Hauptunterschied zwischen Modul und VR in bezug auf diese Aufgabe erkläre.?...Je länger ich mir die Aufgabe angucke desto verwirrter werde ich.
Kann mir bitte jemand helfen?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Di 25.05.2010 | | Autor: | statler |
> Es sei A = [mm](a_{1},[/mm] ... , [mm]a_{n})[/mm] ein Tupel von Elementen
> eines R- Moduls m [mm]\not=[/mm] {0}. Wahr oder falsch:
> (1) Ist A frei, so ist keiner der [mm]a_{i}[/mm] eine
> Linearkombination über R der anderen [mm]a_{j}.[/mm]
> (2) Ist keines der [mm]a_{i}[/mm] eine Linearkombination über R
> der anderen [mm]a_{j},[/mm] so ist A frei.
> (3) Die Darstellung eines Elements von M als
> Linearkombination über einer festen Basis von M ist stets
> eindeutig.
> (4) Wenn jedes Element von M als Linearkombination über A
> ausdrückbar ist, dann ist A eine Basis von M.
> (5) Jeder Modul-Homomorphismus M [mm]\to[/mm] M' durch seine
> Wirkung auf eine Basis von M bereits eindeutig bestimmt.
> (6) Jeder Modulhomomorphismus M [mm]\to[/mm] M' durch seine Wirkung
> auf ein nicht- freies Erzeugendensystem von M bereits
> eindeutig bestimmt.
> (7) Ist A eine Basis von M, so ist jede Abbildung A [mm]\to[/mm] M'
> in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M
> [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
> (8) Wird M von A erzeugt, so ist jede Abbildung A [mm]\to[/mm] M'
> in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M
> [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
> (9) Wird M von A erzeugt, und ist kein Element von A eine
> Linearkombination anderer Elemente von A, so ist jede
> Abbildung A [mm]\to[/mm] M' in einen anderen R-Modul M' zu einem
> Modul-Homomorphismus M [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
> (10) M hat eine Basis.
> (11) M hat eine Teilmenge, die M erzeugt und von der kein
> Element Linearkombination der anderen ist.
Hi, ich fang mal an ...
> diese Aufgabe macht mir etwas Probleme, weil ich immer
> wieder von einem VR ausgehen will. Ich hoffe das mir jemand
> sagen kann ob meine Ideen richtig sind bzw. Mir Helfen kann
> wo es mir noch nicht ganz klar ist.
>
> (1) richtig
> frei bedeutet ja das ein Modul eine Basis besitzt [mm]\to[/mm] eine
> Basis ist ja eine maximale l.u. Teilmenge von R [mm]\to[/mm] also
> ist [mm]a_{i}[/mm] nicht als Linearkombination vo [mm]a_{j}[/mm] darstellbar
Genau genommen falsch, da nirgends steht, daß die [mm] a_j [/mm] eine Basis sein sollen.
> (2) Falsch
Sogar völlig falsch; der Modul könnte Rang 2 haben und es nur ein [mm] a_1 [/mm] geben.
> (3) Richtig
> Die Darstellung über einer Basis ist stets eindeutig.
> (4) Richtig
Falsch, es ist dann nur ein Erzeugendensystem. Nimm einen nicht-freien Modul und alle seine Elemente.
> (5) Richtig
> Gilt wie im VR.
> (6) Falsch
> Habe ich jedoch leider keine Begründung für, könnte es
> mir bitte jemand erklären?
Richtig. Die Bilder der Erzeugenden bestimmen den Homomorphismus, aber ich kann sie nicht beliebig festlegen.
> (7) Richtig
> Es entsteht ein Fortsetzungshomomorphismus
>
> (8) Falsch
> Funktioniert nur mit Basis.
>
> (9) Richtig
> Auch hier fehlt mir leider eine passende Begründung.
Falsch. Es könnte eine Relation zwischen den Elementen geben, ohne daß ein Element eine Linearkombination der anderen ist.
> (10) Falsch
> Denn nicht jedes Modul muss eine Basis haben.
in der Mathematik der Modul
> (11) Falsch
> Denn dann müsste es eine Basis sein, die braucht ein
> Modul aber nicht.
Eher richtig. Ich nehme alle Elemente und sondere diejenigen aus, die Linearkombinationen sind. Oder führt das zu mengentheoretischen Kalamitäten?
Das ging sehr schnell, hoffentlich ist alles richtig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
> Kann mir jemand weiter helfen?..ich wäre echt dankbar.
>
> LG Schmetterfee
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> > Es sei A = [mm](a_{1},[/mm] ... , [mm]a_{n})[/mm] ein Tupel von Elementen
> > eines R- Moduls m [mm]\not=[/mm] {0}. Wahr oder falsch:
> > (1) Ist A frei, so ist keiner der [mm]a_{i}[/mm] eine
> > Linearkombination über R der anderen [mm]a_{j}.[/mm]
> > (2) Ist keines der [mm]a_{i}[/mm] eine Linearkombination über R
> > der anderen [mm]a_{j},[/mm] so ist A frei.
> > (3) Die Darstellung eines Elements von M als
> > Linearkombination über einer festen Basis von M ist stets
> > eindeutig.
> > (4) Wenn jedes Element von M als Linearkombination
> über A
> > ausdrückbar ist, dann ist A eine Basis von M.
> > (5) Jeder Modul-Homomorphismus M [mm]\to[/mm] M' durch seine
> > Wirkung auf eine Basis von M bereits eindeutig bestimmt.
> > (6) Jeder Modulhomomorphismus M [mm]\to[/mm] M' durch seine
> Wirkung
> > auf ein nicht- freies Erzeugendensystem von M bereits
> > eindeutig bestimmt.
> > (7) Ist A eine Basis von M, so ist jede Abbildung A [mm]\to[/mm]
> M'
> > in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M
> > [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
> > (8) Wird M von A erzeugt, so ist jede Abbildung A [mm]\to[/mm]
> M'
> > in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M
> > [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
> > (9) Wird M von A erzeugt, und ist kein Element von A
> eine
> > Linearkombination anderer Elemente von A, so ist jede
> > Abbildung A [mm]\to[/mm] M' in einen anderen R-Modul M' zu einem
> > Modul-Homomorphismus M [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
> > (10) M hat eine Basis.
> > (11) M hat eine Teilmenge, die M erzeugt und von der
> kein
> > Element Linearkombination der anderen ist.
>
> Hi, ich fang mal an ...
>
Danke jetzt versteh ich schon mehr...
> >
> > (1) richtig
> > frei bedeutet ja das ein Modul eine Basis besitzt [mm]\to[/mm]
> eine
> > Basis ist ja eine maximale l.u. Teilmenge von R [mm]\to[/mm] also
> > ist [mm]a_{i}[/mm] nicht als Linearkombination vo [mm]a_{j}[/mm] darstellbar
>
> Genau genommen falsch, da nirgends steht, daß die [mm]a_j[/mm] eine
> Basis sein sollen.
aber folgt das nicht daraus das A frei ist?
>
>
> > (3) Richtig
> > Die Darstellung über einer Basis ist stets eindeutig.
>
> > (5) Richtig
> > Gilt wie im VR.
>
> > (7) Richtig
> > Es entsteht ein Fortsetzungshomomorphismus
> >
> > (8) Falsch
> > Funktioniert nur mit Basis.
>
> > (11) Falsch
> > Denn dann müsste es eine Basis sein, die braucht ein
> > Modul aber nicht.
>
> Eher richtig. Ich nehme alle Elemente und sondere
> diejenigen aus, die Linearkombinationen sind. Oder führt
> das zu mengentheoretischen Kalamitäten?
>
Was meinst du mit einer megentheoretischen Kalamität?
> Das ging sehr schnell, hoffentlich ist alles richtig.
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
> >
Danke für die erklärungen..sind die anderen Antworten von mir denn soweit richtig?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Di 25.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> > > Es sei A = [mm](a_{1},[/mm] ... , [mm]a_{n})[/mm] ein Tupel von Elementen
> > > eines R- Moduls m [mm]\not=[/mm] {0}.
Ich verstehe das A nicht - ist das nur eine Menge? Oder der von den Elementen erzeugte Untermodul? Ich finde das eher unklar - ich finde, dass es in den Fragen jeweils anders benutzt wird.
> > > (1) Ist A frei, so ist keiner der [mm]a_{i}[/mm] eine
> > > Linearkombination über R der anderen [mm]a_{j}.[/mm]
Hier weiss ich nicht, was A genau ist. Ist A ein Untermodul erzeugt von den Elementen muss das nicht gelten, vgl. zB [m]\IZ[/m] mit [m][mm] \{2, 3\}[\m] [/mm] als minimale Erzeuger.
> > > (2) Ist keines der [mm]a_{i}[/mm] eine Linearkombination
> über R
> > > der anderen [mm]a_{j},[/mm] so ist A frei.
Lineare unabhaengigkeit ist viel staerker als diese Aussage. Mache es dir an [m][mm] (\Z_2)^2[\m] [/mm] klar. (Das Problem sind die Torsionselemente)
> > > (3) Die Darstellung eines Elements von M als
> > > Linearkombination über einer festen Basis von M ist stets
> > > eindeutig.
Ja.
> > > (4) Wenn jedes Element von M als Linearkombination
> > über A
> > > ausdrückbar ist, dann ist A eine Basis von M.
Vgl. obiges Beispiel. Linear unabhaengig ist staerker.
> > Genau genommen falsch, da nirgends steht, daß die [mm]a_j[/mm] eine
> > Basis sein sollen.
> aber folgt das nicht daraus das A frei ist?
Siehe oben - kommt drauf an, was A sein soll.
> > Eher richtig. Ich nehme alle Elemente und sondere
> > diejenigen aus, die Linearkombinationen sind. Oder führt
> > das zu mengentheoretischen Kalamitäten?
> >
> Was meinst du mit einer megentheoretischen Kalamität?
Lemma von Zorn ...  Naja, er nimmt alle Elemente und will solange Elemente herauswerfen, bis man ein minimales Erz.szstem hat. Bei endlich vielen Erzeugern geht es ja offensichtlich. Fragt sich, ob es auch fuer unendliche durchgeht, oder ob es Probleme gibt. Wobei ich es andersrum machen wuerde: ich wuerde mit einem Element starten, dann eines was nicht im Spann liegt hinzufuegen und das Lemma von ZYorn sollte mir dann eine maximale geben.
SEcki
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Danke für die erklärung das habe ich soweit verstanden..
LG Schmetterfee
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Hallo mir sind immer noch nicht ganz die Fragen 5, 7 und 8 klar...Kann da noch jemand meine zerstreuten gedanken ordnen...
> > > (5) Jeder Modul-Homomorphismus M [mm]\to[/mm] M' durch seine
> > > Wirkung auf eine Basis von M bereits eindeutig bestimmt.
Ich würde sagen das dies richtig ist, weil ich der Meinung bin das dies wie im VR gilt.
> > > (7) Ist A eine Basis von M, so ist jede Abbildung A
> [mm]\to[/mm]
> > M'
> > > in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M
> > > [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
Hier würde ich auch sagen, dass es richtig ist, weil meiner Meinung nach ein ganz normaler Fortsetzungshomomorphismus entsteht.
> > > (8) Wird M von A erzeugt, so ist jede Abbildung A
> [mm]\to[/mm]
> > M'
> > > in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M
> > > [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
Hier würde ich sagen, dass es falsch ist, weil es meiner Meinung nach nur klappt wenn A eine Basis ist..aber hier bin ich mir noch net sicher...
Kann das bitte noch jemand erklären?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 27.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> > > Es sei A = [mm](a_{1},[/mm] ... , [mm]a_{n})[/mm] ein Tupel von Elementen
> > > eines R- Moduls m [mm]\not=[/mm] {0}. Wahr oder falsch:
> > > (5) Jeder Modul-Homomorphismus M [mm]\to[/mm] M' durch seine
> > > Wirkung auf eine Basis von M bereits eindeutig bestimmt.
> > > (7) Ist A eine Basis von M, so ist jede Abbildung A
> [mm]\to[/mm]
> > M'
> > > in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M
> > > [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
> > > (8) Wird M von A erzeugt, so ist jede Abbildung A
> [mm]\to[/mm]
> > M'
> > > in einen anderen R-Modul M' zu einem Modul-Homomorphismus M
> > > [mm]\to[/mm] M' fortsetzbar.
Kann mir bitte jemand die drei aussagen erklären bin da leider immer noch net viel schlauer
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 29.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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