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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Vergleichssatz
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Vergleichssatz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Mo 28.08.2017
Autor: Kruemelmonster2

Aufgabe
Überprüfen Sie, ob die Lösung $x$ des Anfangswertproblems [mm] $\dot{x}=x(x+1)(x+2); [/mm] x(0)=1$ einen Blow-up in endlicher positiver Zeit hat.

Die Lösung des Dozenten sah folgendermaßen aus und ich verstehe dort einige Sachen nicht ganz. In einer Übung haben wir gezeigt, dass die DGL [mm] $\dot{x}=x^{\alpha}$ [/mm] für [mm] $\alpha>1$ [/mm] einen Blow-up hat.

Dies wollten wir in der Lösung verwenden indem wir den Vergleichssatz anwenden. Wir müssen also nur noch (1) zeigen und hätten dann nach dem Vergleichssatzt das x(t)>=y(t) ist womit nach (2) alles gezeigt wäre.

1) x(t) ist Oberlösung zum Anfangswertproblem [mm] $\dot{y}=y^3, [/mm] y(0)=1$.

Dafür müssen wir zeigen, dass [mm] $\dot{x}\geq x^3(t)$ [/mm] [Das ist ja einfach die Definition einer Oberlösung]. Aus der DGL erhalten wir, dass $x(t)>0 [mm] \quad \forall [/mm] t>0$ [Warum?].  

Und genau hier hänge ich. Wieso erhalten wir das aus der DGL?
Wir wissen, dass x(0)=1. Unsere Funktion startet also bei einem positiven Wert. Klar ist, dass es dann auch ein Intervall $I$ gibt, in dem die Funktion positiv ist (es handelt sich ja um eine Stetige Funktion). Dann würde für die [mm] $t\in [/mm] I$ gelten, dass [mm] $\dot{x}\geq [/mm] 0$. Auf dem Intervall ist die Funktion also monoton steigend (evtl. sogar streng monoton). Wieso aber sollte das für alle $t>0$ gelten? Ich kenne ja meine Lösungsfunktion nicht.

Nun folgerten wir daraus:
[mm] $\Rightarrow \dot{x}=x(t)(x(t)+1)(x(t)+2)\geq x^3(t)$. [/mm] Damit wäre also gezeigt, dass x(t) eine Oberlösung ist.

Da aus der Übung bekannt ist, dass [mm] $\dot{y}=y^3$ [/mm] einen Blow-up in endlicher Zeit hat muss also auch unser x(t) einen Blow-up in endlicher positiver Zeit haben.

Damit ist die Aufgabe gelöst.

Es wäre wirklich nett wenn mir jemand erklären könnte warum $x(t)>0$ für alle $t>0$ gelten sollte. Der Dozent meinte es wäre trivial aber ich sehe das einfach nicht :/

LG. Krümmelmonster

        
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Vergleichssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 28.08.2017
Autor: leduart

Hallo
nimm an, die fkt ist bis t=d steigend, daraus folgt x(d)>1 und damit wieder das Produkt >1 usw du kannst ja auch die rechte Seite ausmultiplizieren, dann steht da [mm] x^3+ ax^2+bx+c [/mm] . a,b,c>0 also ist [mm] x^3 [/mm] für alle x : [mm] x^3< x^3+ ax^2+bx+c [/mm] . a,b,c>0
Gruß leduart

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Vergleichssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 Mo 28.08.2017
Autor: Kruemelmonster2


> Hallo
>  nimm an, die fkt ist bis t=d steigend, daraus folgt x(d)>1
> und damit wieder das Produkt >1 usw du kannst ja auch die
> rechte Seite ausmultiplizieren, dann steht da [mm]x^3+ ax^2+bx+c[/mm]
> . a,b,c>0 also ist [mm]x^3[/mm] für alle x : [mm]x^3< x^3+ ax^2+bx+c[/mm] .
> a,b,c>0
>  Gruß leduart  

Vielen dank erstmal für deine schnelle Hilfe, aber ich muss zugeben das ich immer noch nicht ganz verstanden habe. Das dies für ein bestimmtes $d$ gilt kann ich auch noch nachvollziehen aber in meiner DGL stehen ja Lösungsfunktionen:

[mm] $\dot{x}=x(t)*(x(t)+1)(x(t)+2)$ [/mm]

Die Abschätzung gilt aber ja nur wenn $x(t)>0$ ist für alle $t>0$. Aber mir ist die Lösungsfunktion $x(t)$ ja gar nicht bekannt. Wieso kann es kein $s>0$ geben sodass auf einmal $x(s)<0$ gilt?

Ich kann das aus der DGL ehrlich gesagt nicht erkennen. Das einzige was ich noch ablesen kann sind die Stationären Pkt welche bei -1, -2 und 0 liegen.

Die Funktion f(x(t)) wäre ja Lipschitzstetig, da sie stetig differenzierbar ist. Nach dem Eindeutigkeitssatz dürfen sich Lösungstrajektorien nicht schneiden. Da f(0) ein stationärer Punkt ist und x(0)=1 gilt müsste die Lösungstrajektorie ja stets über der 0 liegen. Dann müsste gelten x(t)>0 für alle t>0.

Kann man evtl so argumentieren?

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Vergleichssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:10 Di 29.08.2017
Autor: leduart

Hallo
ich habe dir doch gezeigt, dass die t=d x'>1 also wächst die Funktion weiter.
einfacher ist [mm] x^3(t) dass x(t) abhängt ist dabei klar, ≈ «wächst mit wachsendem t.
wie sollte denn  x' jemals <1 werden , wenn es schon bei t=0  2 ist die x(t) also wachsen und damit x'
Gruß ledum



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Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Di 29.08.2017
Autor: Kruemelmonster2

Achja stimmt das leuchtet ein.
Vielen lieben dank :)

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Vergleichssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Di 29.08.2017
Autor: fred97


>  
> Es wäre wirklich nett wenn mir jemand erklären könnte
> warum [mm]x(t)>0[/mm] für alle [mm]t>0[/mm] gelten sollte. Der Dozent meinte
> es wäre trivial aber ich sehe das einfach nicht :/


Na ja , so trivial ist das auch nicht.

1. Annahme: x hat Nullstellen in $(0, [mm] \infty)$. [/mm] Da x stetig ist , gibt es eine kleinste positive Nullstelle [mm] t_0. [/mm] Dann haben wir:

[mm] x(t_0)=0 [/mm] und , wegen x(0)=1>0:

(*) x(t)>0 für t [mm] \in [0,t_0). [/mm]

Mit dem Mittelwertsatz bekommen wir ein [mm] s_0 \in (0,t_0) [/mm] mit

[mm] 0<1=x(0)-x(t_0)=(0-t_0)x'(s_0)=-t_0x'(s_0). [/mm]

Damit ist [mm] x'(s_0)<0, [/mm] also:

[mm] x(s_0)(x(s_0)+1)(x(s_0)+2) [/mm] <0.

Im Produkt links sind aber, wegen (*), alle Faktoren positiv, Widerspruch !


Damit hat also x im Intervall [0, [mm] \infty) [/mm] keine Nullstelle. Mit x(0)=1 und dem Zwischenwertsatz folgt nun das Gewünschte.

>  
> LG. Krümmelmonster


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Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Di 29.08.2017
Autor: Gonozal_IX

Hallo Fred,

Was spricht gegen den (vermutlich vom Dozenten gemeinten) Ansatz: [mm] $\dot [/mm] {x} [mm] \ge [/mm] 0$ auf [mm] (0,\infty) [/mm] damit ist x monoton wachsend auf [mm] $(0,\infty) [/mm] $ und mit x(0)=1 folgt das gewünschte.

Gruß
Gono

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Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:55 Di 29.08.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>
> Was spricht gegen den (vermutlich vom Dozenten gemeinten)
> Ansatz: [mm]\dot {x} \ge 0[/mm] auf [mm](0,\infty)[/mm] damit ist x monoton
> wachsend auf [mm](0,\infty)[/mm] und mit x(0)=1 folgt das
> gewünschte.

Hallo Gono,

vielleicht habe ich Tomaten auf den Augen, aber woher kommt

    [mm]\dot {x} \ge 0[/mm] auf [mm](0,\infty)[/mm] ?


>
> Gruß
>  Gono


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Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 Di 29.08.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Es ist doch  [mm] $\dot{x}=x [/mm] (x+1)(x+2)$ und das ist offensichtlich nichtnegativ wenn x nichtnegativ? Oder übersehe ich etwas?

Gruß
Gono

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Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:19 Di 29.08.2017
Autor: fred97


> Hiho,
>
> Es ist doch  [mm]\dot{x}=x (x+1)(x+2)[/mm] und das ist
> offensichtlich nichtnegativ wenn x nichtnegativ? Oder
> übersehe ich etwas?

Es ist doch gerade zu zeigen, dass $x>0$ auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] ist !

>  
> Gruß
> Gono  


Bezug
                                                
Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:28 So 03.09.2017
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

ein gutes Beispiel, dass im Urlaub auch das eigene Hirn Urlaub macht und x und t nicht auseinander halten kann :-)
Danke für die Aufklärung.

Gruß,
Gono

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Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Di 29.08.2017
Autor: Kruemelmonster2

Vielen lieben dank Fred für die wirklich Ausführliche Erklärung.

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