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Forum "Differentialgleichungen" - Vergrößerungsfunktion berchnen
Vergrößerungsfunktion berchnen < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Vergrößerungsfunktion berchnen: Zweimassenschwinger
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Sa 24.07.2010
Autor: DER-Helmut

Aufgabe
Gegeben sind die 2 Differentialgleichungen, ich soll die 2 Vergrößerungsfunktionen berechnen.  

[mm] m_{1} \ddot_u_{1} [/mm] + [mm] c_{1} u_{1} [/mm] + [mm] d_{1} \dot_u_{1} [/mm] - [mm] c_{2}(u_{2}-u_{1}) [/mm] - [mm] d_{2} (\dot_u_{2} [/mm] - [mm] \dot_u_{1} [/mm] )=0

[mm] m_{2} \ddot_u_{2} [/mm] + [mm] d_{2} (\dot_u_{2} [/mm] - [mm] \dot_u_{1} [/mm] ) + [mm] c_{2}(u_{2}-u_{1}) [/mm]  =0

Daraus folgt nach meiner Rechnung als Matrixschreibweise:

[mm] \pmat{ m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ \ddot_u_{1} \\ \ddot_u_{2}} [/mm] + [mm] \pmat{ d_{1}+d_{2} & -d_{2} \\ -d_{2} & d_{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ \dot_u_{1} \\ \dot_u_{2}} [/mm] + [mm] \pmat{ c_{1}+c_{2} & -c_{2} \\ -c_{2} & c_{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ u_{1} \\ u_{2}} [/mm]  =  [mm] \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm]


Nun nehme ich den Ansatz:

[mm] \tilde_u [/mm] = [mm] \tilde_u [/mm] * [mm] e^{\lambda*t} [/mm]


Ich erhalte:
[mm] \pmat{ m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ \lambda^2 u_{1} \\ \lambda^2 u_{2}} [/mm] + [mm] \pmat{ d_{1}+d_{2} & -d_{2} \\ -d_{2} & d_{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ \lambda u_{1} \\ \lambda u_{2}} [/mm] + [mm] \pmat{ c_{1}+c_{2} & -c_{2} \\ -c_{2} & c_{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ u_{1} \\ u_{2}} [/mm]  =  [mm] \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm]

Ich fasse zusammern:

[mm] \pmat{ m_{1} \lambda^2 + (d_{1}+d_{2}) \lambda + (c_{1}+c_{2}) & -d_{2} \lambda -c_{2} \\ -d_{2} \lambda -c_{2} & m_{2} \lambda^2 + d_{2} + c_{2} } [/mm] * [mm] \pmat{ u_{1} \\ u_{2}} [/mm] =  [mm] \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm]


Und nun?
Ich kann die Determinante berechnen - aber wie komme ichauf die Vergrößerungsfunktion?

Danke im Vorraus!!! :)

Ich hoffe es kann mir einer BITTE BITTE helfen!

Grüße



        
Bezug
Vergrößerungsfunktion berchnen: Hilfeseite
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Sa 24.07.2010
Autor: DER-Helmut

Villeicht kann der Eintrag bei Wiki jmd. helfen, mir leider nicht:

http://de.wikipedia.org/wiki/Vergr%C3%B6%C3%9Ferungsfunktion


ganz unten wird irgendetwaschergeleitet..

DANKE!

Bezug
        
Bezug
Vergrößerungsfunktion berchnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Sa 24.07.2010
Autor: DER-Helmut

Aufgabe
Hm

Hat wirklich keiner einen Vermutung? =/

Bezug
                
Bezug
Vergrößerungsfunktion berchnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Sa 24.07.2010
Autor: MathePower

Hallo DER-Helmut,

> Hm
>  Hat wirklich keiner einen Vermutung? =/


Siehe dazu diese Antwort.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Vergrößerungsfunktion berchnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 24.07.2010
Autor: MathePower

Hallo DER-Helmut,

> Gegeben sind die 2 Differentialgleichungen, ich soll die 2
> Vergrößerungsfunktionen berechnen.
> [mm]m_{1} \ddot_u_{1}[/mm] + [mm]c_{1} u_{1}[/mm] + [mm]d_{1} \dot_u_{1}[/mm] -
> [mm]c_{2}(u_{2}-u_{1})[/mm] - [mm]d_{2} (\dot_u_{2}[/mm] - [mm]\dot_u_{1}[/mm] )=0
>  
> [mm]m_{2} \ddot_u_{2}[/mm] + [mm]d_{2} (\dot_u_{2}[/mm] - [mm]\dot_u_{1}[/mm] ) +
> [mm]c_{2}(u_{2}-u_{1})[/mm]  =0
>  
> Daraus folgt nach meiner Rechnung als Matrixschreibweise:
>  
> [mm]\pmat{ m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2}}[/mm] * [mm]\pmat{ \ddot_u_{1} \\ \ddot_u_{2}}[/mm]
> + [mm]\pmat{ d_{1}+d_{2} & -d_{2} \\ -d_{2} & d_{2}}[/mm] * [mm]\pmat{ \dot_u_{1} \\ \dot_u_{2}}[/mm]
> + [mm]\pmat{ c_{1}+c_{2} & -c_{2} \\ -c_{2} & c_{2}}[/mm] * [mm]\pmat{ u_{1} \\ u_{2}}[/mm]
>  =  [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>  
>
> Nun nehme ich den Ansatz:
>
> [mm]\tilde_u[/mm] = [mm]\tilde_u[/mm] * [mm]e^{\lambda*t}[/mm]
>  
>
> Ich erhalte:
>  [mm]\pmat{ m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2}}[/mm] * [mm]\pmat{ \lambda^2 u_{1} \\ \lambda^2 u_{2}}[/mm]
> + [mm]\pmat{ d_{1}+d_{2} & -d_{2} \\ -d_{2} & d_{2}}[/mm] * [mm]\pmat{ \lambda u_{1} \\ \lambda u_{2}}[/mm]
> + [mm]\pmat{ c_{1}+c_{2} & -c_{2} \\ -c_{2} & c_{2}}[/mm] * [mm]\pmat{ u_{1} \\ u_{2}}[/mm]
>  =  [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>  
> Ich fasse zusammern:
>
> [mm]\pmat{ m_{1} \lambda^2 + (d_{1}+d_{2}) \lambda + (c_{1}+c_{2}) & -d_{2} \lambda -c_{2} \\ -d_{2} \lambda -c_{2} & m_{2} \lambda^2 + d_{2} + c_{2} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ u_{1} \\ u_{2}}[/mm] =  [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>  
>
> Und nun?
> Ich kann die Determinante berechnen - aber wie komme ichauf
> die Vergrößerungsfunktion?


Wenn ich dieselbe Herleitung auf mehr auf das obige DGL-System
anwende, dann komme ich auf die Matrix-Vektorgleichungen

[mm]\left(k-\omega^{2}*m\right)*\overrightarrow{a}-\omega*f\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}[/mm]

[mm]\left(k-\omega^{2}*m\right)*\overrightarrow{b}+\omega*f\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_{0}}[/mm]


,wobei [mm]k,m,f \in M_{2,2}\left(\IR\right), \overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b}, \overrightarrow{F_{0}} \in \IR^{2}[/mm]

Dabei bin ich vom DGL-System

[mm]m*\varphi''+f*\varphi'+k*\varphi=F_{0}*\cos\left(\omega*t\right)[/mm]

und dem Ansatz

[mm]\varphi\left(t\right)=\overrightarrow{a}*\sin\left(\omega*t\right)+\overrightarrow{b}*\cos\left(\omega*t\right)[/mm]

ausgegangen.

Aus den beiden Matrix-Vektor-Gleichungen sind nun
[mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}[/mm] zu bestimmen.


>  
> Danke im Vorraus!!! :)
>  
> Ich hoffe es kann mir einer BITTE BITTE helfen!
>  
> Grüße
>  
>  


Gruss
MathePower

Bezug
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