Verhältnis bei Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Di 13.07.2010 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 } [/mm] und [mm] \lambda \in\IR [/mm] der kleinste Eigenwert von A.
Man bestimme für einen Eigenvektor [mm] v=(v_1, v_2, v_3) [/mm] von A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] das Verhältnis [mm] v_2/v_1. [/mm] |
Hallo,
meine erste Idee, um die Aufgabe zu lösen, war die Cramersche Regel.
Danach gilt ja [mm] v_i= \bruch{det A_i}{det A}. [/mm] Wobei [mm] A_i [/mm] die [mm] n\times [/mm] n-Matrix ist, die man aus A gewinnt, wenn man dort die i-te Spalte durch [mm] \lambda \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3} [/mm] ersätzt.
Also [mm] A_1=\pmat{ \lambda v_1 & 0 & 2 \\ \lambda v_2 & -1 & 3 \\ \lambda v_3 & 1 & 8 }
[/mm]
und [mm] A_2=\pmat{ 1 & \lambda v_1 & 2 \\ 2 & \lambda v_2 & 3 \\ 4 & \lambda v_3 & 8 }
[/mm]
Es gilt außerdem det A=1
Also [mm] v_2/v_1=det A_2/det A_1= \bruch{-4v_1+v_3}{-11v_1+2v_2+2v_3}
[/mm]
Ist es das jetzt schon, oder kann man mit einer anderen Lösung ein schöneres Ergebnis bestimmen? Denn für ein Verhältnis erwartet man ja ´ne ganze Zahl oder wenigstens irgendeine Zahl.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
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> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 }[/mm] und [mm]\lambda \in\IR[/mm]
> der kleinste Eigenwert von A.
>
> Man bestimme für einen Eigenvektor [mm]v=(v_1, v_2, v_3)[/mm] von A
> zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] das Verhältnis [mm]v_2/v_1.[/mm]
> Hallo,
>
> meine erste Idee, um die Aufgabe zu lösen, war die
> Cramersche Regel.
Hallo,
Meine erste Idee wäre die Eigenwerte zu bestimmen, anschließend zum kleinsten Eigenwert einen Eigenvektor und hieraus das Verhältnis.
Gruß v. Angela
>
> Danach gilt ja [mm]v_i= \bruch{det A_i}{det A}.[/mm] Wobei [mm]A_i[/mm] die
> [mm]n\times[/mm] n-Matrix ist, die man aus A gewinnt, wenn man dort
> die i-te Spalte durch [mm]\lambda \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}[/mm]
> ersätzt.
>
> Also [mm]A_1=\pmat{ \lambda v_1 & 0 & 2 \\ \lambda v_2 & -1 & 3 \\ \lambda v_3 & 1 & 8 }[/mm]
>
> und [mm]A_2=\pmat{ 1 & \lambda v_1 & 2 \\ 2 & \lambda v_2 & 3 \\ 4 & \lambda v_3 & 8 }[/mm]
>
> Es gilt außerdem det A=1
>
> Also [mm]v_2/v_1=det A_2/det A_1= \bruch{-4v_1+v_3}{-11v_1+2v_2+2v_3}[/mm]
>
> Ist es das jetzt schon, oder kann man mit einer anderen
> Lösung ein schöneres Ergebnis bestimmen? Denn für ein
> Verhältnis erwartet man ja ´ne ganze Zahl oder wenigstens
> irgendeine Zahl.
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Di 13.07.2010 | | Autor: | wee |
> Hallo,
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> Meine erste Idee wäre die Eigenwerte zu bestimmen,
> anschließend zum kleinsten Eigenwert einen Eigenvektor und
> hieraus das Verhältnis.
>
> Gruß v. Angela
Danke für deinen Antwort!
Das habe ich auch schon versucht. Allerding sind die Eigenwerte alles andere als trivial.
Als CharPoly habe ich [mm] -\lambda^3+8\lambda^2+12\lambda+1.
[/mm]
Das lässt sich nicht leicht faktorisieren. Die Eigenwerte habe ich dann mit Computer ausrechnen lassen und da kommen doch recht wilde Ausdrücke mit cos, Arctan, Wurzeln und [mm] \pi [/mm] raus.
Es muss also noch eine andere Lösung geben.
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Hi,
wenn du dir die Eigenwerte per Rechner besorgst, kannst du dir doch auf gleichem Wege auch die Eigenvektoren besorgen und zumindest schon einmal ein Gefühl für die gesuchte Größe bekommen. Wenn mein Rechner und ich alles richtig gemacht haben, ist das gesuchte Verhältnis auch einfach nur irgendeine Zahl, ich konnte zumindest keinen direkten Zusammenhang zu [mm] \pi [/mm] oder ähnlichem erkennen (den es aber wohl geben kann).
Die Rechenausdrücke sind wirklich nicht schön, wie du das schon selbst festgestellt hast.
Es gibt aber ein Iterationsverfahren zur Ermittlung des größten Eigenwerts samt Eigenvektors, evtl. findest du ein analoges Verfahren für den kleinsten... vielleicht hier (wenn auch hier der betragskleinste gemeint ist):
![[]](/images/popup.gif) Verfahren von Mises
Viel Erfolg dabei 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 13.07.2010 | | Autor: | wee |
Danke weightgainer!
Ich habe mir dieses Iterationsverfahren gerade angeschaut und finde, dass sich das hier nicht anbietet. (vielleicht doch, ich sehe nur nicht wie ;) )
Bei den Verfahren bekommt man das Verhältnis z.B. von [mm] \lim_{t\rightarrow\infty}v_1^t/v_1^{t+1}=\lambda, [/mm] wobei der Exponent andeutet, dass auf den Vektor t-mal, bzw. (t+1)-mal die zu A inverse Matrix [mm] A^{-1} [/mm] angewandt wird.
Wie kommt man dann auf das Verhältnis von unterschiedlichen Einträgen?
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Ich habe mir das Verfahren nicht so genau angeschaut, aber nach meinem Verständnis wird hier iterativ der Eigenwert und ein dazu gehöriger Eigenvektor ermittelt. Wenn du den hast, bist du ja fertig - ist ja im Grunde nichts anderes als das "normal" ausrechnen, was du selbstverständlich auch machen könntest.
Ich dachte nur, dass es mit einem solchen oder ähnlichen Iterationsverfahren vielleicht "angenehmer" ist als der direkte Weg mit den SIN/COS/ARCTAN Eigenwerten, zu denen man dann ähnliche "Trümmer" als Eigenvektoren bekommt. Aber natürlich kann man das schon rechnen, auch wenn es umständlich zu sein scheint.
Einen wirklich eleganten Weg über theoretische Sätze über Eigenwerte und -vektoren sehe ich hier leider nicht.
Gruß,
Martin
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