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hey leute!
Ich schreib morgen ne Klausur. Es gibt ne sache die ich nicht verstehe?
Wie ermittle ich das Verhalten eine gebrochenrationalenfunktion an der Polstelle?
an einer Polstelle bei einer funktionsschar?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Do 20.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo defjam,
ob einzelne Funktion oder Schar:
Zerlege den Zähler und den Nenner in Linearfaktoren. Das geht mit Hilfe der Nullstellen von Zähler bzw. Nenner. Kommt der Linearfaktor, der die Polstelle erzeugt ggf. nach Kürzen im Nenner in einer geraden Potenz vor, dann ist es eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, andernfalls mit VZW.
Brauchst du tatsächlich die genau Auskunft wo bzw. von wo nach wo der VZW stattfindet, mußt du mit Grenzwerten arbeiten.
Ein Beispiel: Sei
[mm]
f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x^3 - 2x^2}
[/mm]
Nullstellen des Zählers sind 0 und 3. Nullstellen des Nenners 0 und 2. Die Zerlegung lautet entsprechend:
[mm]
f(x) = \frac{x (x - 3)}{x^2 (x - 2)}
[/mm]
Durch Ausklammern von x bzw [mm] $x^2$ [/mm] sieht man das auch sehr schnell.
Es liegen Polstellen bei 0 und 2. Der Linearfaktor 0 kommt im Nenner zwar quadratisch vor, aber nach Kürzen nur noch einfach. Folglich sind beide Polstellen mit Vorzeichenwechsel.
Daß der VZW bei 0 von - nach + geht und bei 2 von + nach - siehst du durch Einsetzen von Werten, die links und rechts nahe bei den Polstellen liegen. Das geht natürlich bei Scharen nicht so ohne weiteres. In diesem Fall müßtest du versuchen den links- bzw rechtsseitigen Grenzwert zu berechnen.
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Hier ein bsp wie wir es im kurs machen:
[mm] f(x)=\bruch{2x²-2tx-x}{x-t}
[/mm]
[mm] x\to [/mm] t
x>t
t>0
[mm] \bruch{2t²-2t²-t}{+0}=\bruch{-t}{+0}-\infty
[/mm]
[mm] x\to [/mm] t
x<t
t>0
[mm] \bruch{-t}{-0}=+\infty [/mm]
[mm] x\to [/mm] t
x>t
t<0
[mm] \bruch{-t}{+0}=-\infty
[/mm]
[mm] x\to [/mm] t
x>t
t<0
[mm] \bruch{-t}{-0}=+\infty [/mm]
könnte mir jdn erklären wie das gemacht wurde?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 20.09.2007 | | Autor: | koepper |
Gegeben hat du hier eine Schar. Es wurden die rechts- bzw linksseitigen Grenzwerte berechnet. Dazu läßt man x --> t gehen. Einmal von links, d.h. x < t und einmal von rechts, d.h. x > t. Die zusätzliche Unterscheidung t > 0 oder t < 0 kann man eigentlich erst ausführen, wenn man vor dem Problem steht, den Grenzwert von
[mm]\bruch{-t}{\pm 0}[/mm]
anzugeben.
Die Ausdrücke +0 bzw -0 sollen andeuten, daß dieser Wert sehr nahe bei Null liegt und dabei positiv bzw. negativ ist. Sie sind also nicht wirklich als Zahlen sondern bloß als Symbole zu verstehen.
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