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Verhalten im Unendlichen: Erklärung zu lim u. Asymptoten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:11 So 21.09.2008
Autor: Adamantin

Betrachtung einer Funktion für sehr große x-Werte
[]Def. bei Wiki

Oftmals ist es sehr interessant zu wissen, wie eine Funktion für x gegen [mm] \infty [/mm] verläuft. Dieses Wissen ist vor allem bei Kurvendiskussionen, bei denen eine Skizze des Graphen verlangt wird, sehr hilfreich. Wenn ich weiß, wie die Funktion sich für x gegen [mm] \infty [/mm] verhält, bin ich in der Lage, diese Information direkt auf die Skizze zu übertragen und Fehler frühzeitig zu erkennen. Dabei interessiert man sich vor allem dafür, ob die Funktion sozusagen ins Unendliche wächst ( [mm] \infty [/mm] ) oder ob sie sich einem bestimmten Grenzwert annähert (einer Zahl oder z.B. der x-Achse)

Für diese Untersuchung gibt es das Symbol des Grenzwertes: [mm] \limes [/mm]

Der Limes hat drei Argumente:
1. auf welche Funktion oder auf welchen Ausdruck er angewendet werden soll
2. welche Variable oder welcher Ausdruck einem Grenzwert entgegenstreben soll
3. gegen welche Zahl oder gegen welchen Ausdruck die zu untersuchende Variable läuft.

Beispiel: [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}f(x) [/mm]

Nach obiger Aufteilung erhalten wir die drei Argumente:
1. f(x), der Limes wird auf die Funktion f(x) angewandt, dies ist also die zu untersuchende Funtkion
2. die Varibale, welche gegen [mm] \infty [/mm] laufen soll, ist x, das bedeutet, mit dem Symbol [mm] \limes [/mm] drücken wir aus, dass das Argument x sehr große Werte annehmen soll
3. wohin x streben soll, hier also gegen [mm] \infty. [/mm] Genausogut könnte hier auch eine Zahl wie 0 oder a stehen, dann würde man den Grenzwert der Funktion f(x) an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] untersuchen und x würde gegen 0 streben (z.B. für Stetigkeit)

Nun wollen wir uns einige Beispiele von nicht gebrochenrationalen Funktionen ansehen:




Beispiele für Untersuchungen von Funktionen im Unendlichen

ganzrationale Funktionen

$ [mm] f(x)=x^3+x^2-24x+3 [/mm] $

Wir wollen nun untersuchen: $ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty} (x^3+x^2-24x+3) [/mm] $

Natürlich ist sofort klar, dass das Ergebnis nur [mm] \infty [/mm] lauten kann! Denn für beliebig große x-Werte wird der gesamte Ausdruck positiv und sehr groß.

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty [/mm] $

Hier müssen wir allerdings mit der Definition aufpassen, denn ein Grenzwert ist an sich eine Zahl, gegen die die Funktion strebt. Nun ist Unendlich aber keine sehr genaue Zahl, es ist gar keine Zahl. Daher sagt man, dass die Funktion zwar gegen [mm] \infty [/mm] strebt, dies aber ein unendlicher/unechter/uneigentlicher Grenzwert ist.

Außerdem kann man sich für ganzrationale Funktionen merken, dass sie sich für x gegen [mm] \infty [/mm] immer wie das Glied mit dem höchsten Exponenten/Grad verhalten. Dass heißt, die Funktion von oben wird sich für sehr große x-Werte wie eine Funktion des dritten Grades [mm] (x^3) [/mm] verhalten, da für große x-Werte dieses Glied den restlichen Funktionsterm dominiert! Für große x-Werte wächst [mm] x^3 [/mm] schneller als [mm] x^2 [/mm] und noch schneller als x.

Zum Schluss sei noch darauf hingewießen, dass man bei Funktionen immer beide Grenzbereiche überprüfen sollte. Wir haben uns jetzt das Verhalten der Funktion für x gegen [mm] \infty [/mm] abgeleitet, aber wie sieht es mit - [mm] \infty [/mm] aus? Auch hierfür sollte das Verhalten geklärt werden:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow -\infty} [/mm] f(x)=- [mm] \infty [/mm] $

Wieso? Nun, für sehr große negative Werte wächst auch hier wieder [mm] x^3 [/mm] stärker als [mm] x^2 [/mm] oder x. Da eine negative Zahl hoch 3 negativ bleibt, wird der ganze Term für sehr große negative Zahlen ebenfalls negativ. Zwar bleibt [mm] x^2 [/mm] positiv, fällt aber nicht so stark ins Gewicht wie [mm] x^3 [/mm] (s.o.) Damit sehen wir, dass die Funktion aus dem "negativ Unendlichen" kommt und ins "positiv Unendliche" geht, eben wie eine Funktion dritten Grades.

Für jetzt und später: Es empfiehlt sich immer - vor allem aber wenn man unsicher ist - die Überlegungen mit dem Taschenrechner zu überprüfen. gerade moderne TR sind in der Lage, komplexe Funktionen sehr einfach und schnell darzustellen und die Funktion zu speichern, so dass man nur noch den x-Wert neu eingeben muss. Damit kann man sehr schnell [mm] 10^4 [/mm] und [mm] 10^{-4} [/mm] eingeben und hat seinen Grenzwert in den meisten Fällen abgesichert.




zusammengesetzte Funktionen

Hier möchte ich drei Beispiele anführen, die das Verfahren der Grenzwertbetrachtung verdeutlichen sollen.

1. Funktion $ f(x)= [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] $

Nun, diese Funktion scheint auf den ersten Blick unüblich und zudem enthält sie eine trigonometrische Funktion, von der wir zunächst gar nicht wissen, wie wir diese in unsere Überlegungen mit einbeziehen können.

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} [/mm] f(x)= [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{sin(x)}{x}=? [/mm] $

Hilfreich sind nun die Grenzwertsätze, die ich hier nicht näher erläutere. Demnach kann man einen zusammengesetzten Grenzwert auf seine einzelnen Grenzwerte reduzieren:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{sin(x)}{x}= \limes_{x \rightarrow \infty} (sin(x)*x^{-1})= \limes_{x \rightarrow \infty} [/mm] sin(x)* [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{1}{x} [/mm] $

Mit dieser Hilfe können wir doch nun schon eine sehr genaue Aussage treffen. Der Term [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist uns wohl vertraut und wir haben keine Schwierigkeiten zu erkennen, dass der Grenzwert für sehr große x-Werte 0 lauten muss, denn 1 geteilt durch eine sehr große Zahl wird eine immer kleinere Zahl. Damit steht fest:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{1}{x}=0 [/mm] $

Bleibt uns noch der Term mit sin(x). Wir wissen von der sinus-Funktion, dass sie eine periodische Funktion ist, die bei 0 beginnt und nach einem Hoch- und Tiefpunkt bei +1 und -1 wieder bei 0 aufhört, ehe sie "von vorne" beginnt. Demnach ändert sich an dem Verlauf der Funktion überhaupt nichts, auch wenn wir sehr große x-Werte einsetzen. Die Funktion alterniert  (wechselt) auch im Unendlichen zwischen den zwei Maximalwerten [mm] \pm [/mm] 1. Das bedeutet für unseren Grenzwert quasi:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} sin(x)=\pm [/mm] 1 $

Nun betrachten wir wieder den gesamten Grenzwert:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} [/mm] f(x)= [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} (sin(x)*x^{-1})= \limes_{x \rightarrow \infty} sin(x)*\limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{1}{x}=\pm [/mm] 1 * 0=0$

Offenbar nähert sich die Funktion für x gegen [mm] \infty [/mm] dem Grenzwert 0, gleichbedeutend mit der x-Achse. Damit haben wir eine wichtige Erkenntnis getroffen für den Verlauf des Graphen, um ihn anschließend zeichnen zu können! (das [mm] \pm [/mm] 1 wirkt sich nur insofern aus, als dass die Funktion die ganze Zeit um die x-Achse "schwankt", sich also abwechselnd von unten und von oben der 0 nähert)

Ich möchte noch anmerken, dass man dies natürlich auch ohne Zerlegung direkt am Anfang hätte sehen können, ich habe nur für ein besseres Verständnis gezeigt, dass man jede zusammengesetzte Funktion derart zerlegen kann, dass man die Grenzwerte einzeln betrachten kann. Hier wäre also auch direkt am Anfang die Aussage möglich gewesen:

Da x im Nenner steht und für x gegen [mm] \infty [/mm] unendlich groß wird, sin(x) im Zähler aber für große x-Werte zwischen 1 und -1 schwankt, muss der gesamte Ausdruck gegen 0 gehen, da x im Nenner immer größer wird.

Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass der Grenzwert für x gegen [mm] -\infty [/mm] ebenfalls 0 lautet, da im Nenner nun zwar sehr große negative Zahlen stehen, der Term aber dennoch 0 wird.




2. Funktion $ f(x)= [mm] e^{-2x} [/mm] $

Diesmal haben wir eine einfachere Funktion, insofern, als dass sie keine zusammengesetzte Funktion ist.

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} e^{-2x}=? [/mm] $

Diesmal haben wir eine Potenz-Funktion, hier sogar die besondere e-Funktion mit der natürlichen euler'schen Zahl e. Dennoch verhält sich die Funktion wie jede Potenzfunktion, aufpassen müssen wir lediglich auf das Minuszeichen vor dem x! Deshalb schreiben wir um:


$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} e^{-2x}=\limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{1}{e^{2x}}=0 [/mm] $

Denn wie sollte es anders sein, haben wir doch im Grunde wieder den Fall [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Und jede Potenzfunktion wächst schneller als eine Gerade. Das bedeutet, [mm] e^{2x} [/mm] wächst sehr schnell für größer werdende x-Werte gegen [mm] \infty, [/mm] und da [mm] e^{2x} [/mm] im Nenner steht, wächst der gesamte Ausdruck sehr schnell gegen 0.

Dennoch ist dieses Beispiel lehrreich, denn anders als in den Beispielen davor, wo die Untersuchung für x gegen [mm] -\infty [/mm] keine großen neuen Erkenntnisse brachte, verändert sich hier das Verhalten der Funktion deutlich!

$ [mm] \limes_{x \rightarrow -\infty} e^{-2x}=\limes_{x \rightarrow -\infty} \bruch{1}{e^{2x}} [/mm] = [mm] \infty [/mm] $

Wie kommt es zu dieser Änderung? Nun, wir haben an sich [mm] e^{2x} [/mm] im Nenner stehen, setzen nun aber negative Werte ein! Damit drehen wir den Bruch noch einmal rum. Da wir ausschließlich negative Werte einsetzen, sind wir berechtigt zu sagen, das Argument x ist negativ und können den Term noch einmal umschreiben:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{1}{e^{-2x}}=\limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{1}{\bruch{1}{e^{2x}}}=\limes_{x \rightarrow \infty} e^{2x}= \infty [/mm] $


Halten wir also fest:

Die Funktion zeigt zwei völlig verschiedene Verhaltensweisen für + [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty. [/mm] Beide konnten wir durch Grenzwertbetrachtung und etwas Überlegen ermitteln. Für den Graphen bedeutet dies, dass die Funktion für große negative x-Werte aus dem "positiv Unendlichen" kommt und sich dann für große positive x-Werte der x-Achse bzw. der Zahl 0 annähert.

Wichtig ist also die beidseitige Betrachtung der Funktion im Unendlichen, sowohl für + [mm] \infty [/mm] als auch für [mm] -\infty. [/mm]




Ein letztes Beispiel, um auch Grenzwerte verschieden von [mm] \infty [/mm] und 0 zu zeigen:

3. Gleichung $ [mm] f(x)=5+e^x [/mm] $

Wieder eine sehr einfache Funktion, die aber zweckdienlich ist.

Für + [mm] \infty [/mm] erhalten wir natürlich:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} 5+e^x=\infty [/mm] $

Für - [mm] \infty [/mm] hingegen:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow - \infty} 5+e^x=5 [/mm] $

Ähnlich wie das Beispiel oben wird auch hier der zweite Teil der Funktion, nämlich [mm] e^x [/mm] für negative x-Werte sehr schnell sehr klein und strebt gegen 0. Damit bleibt als konstanter Parameter 5 übrig. Die Funktion verläuft also für negative x-Werte wie die Gerade der Gleichung y=5 und wird erst mit positiven Werten langsam ansteigen und dann schnell gegen + [mm] \infty [/mm] laufen.

Wir merken uns: Es gibt drei Fälle für das Verhalten einer Funktion gegen [mm] \pm \infty [/mm]
1.) Die Funktion verläuft ins positiv Unendliche [mm] \infty [/mm] (unendlicher Grenzwert)
2.) Die Funktion verläuft ins negativ Unendliche [mm] -\infty [/mm] (unendlicher Grenzwert)
3.) Die Funktion nähert sich einem konkreten Grenzwert (0, x-Achse oder einer anderen Zahl)
4.) Ganz selten gibt es auch keinen Grenzwert. sin(x) alleine besitzt z.B. keinen Grenzwert, weder echt noch unecht, da die Funktion wie gesagt stets alterniert. Dies sei aber für uns unwichtig.




Definition und Erklärung des Begriffes Asymptote:

[]Asymptoten
(Achtung, Wiki fasst auch Polgeraden als Asymptoten auf, ich nenne diese Asymptoten Polstellen)

Wir wollen uns nun langsam den gebrochenrationalen Funktionen nähern, denn diese nehmen einen Großteil der schulischen Mathematik in Anspruch.

Als Eingangsbeispiel und Funktion wählen wir $ [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] $ die uns vertraut und deren Graphen uns bekannt ist.

Wir können zunächst einmal wie oben das Verhalten der Funktion für x gegen [mm] \pm \infty [/mm] bestimmen und stellen fest:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{1}{x}=0 [/mm] $
$ [mm] \limes_{x \rightarrow -\infty}\bruch{1}{x}=0 [/mm] $

Damit haben wir den genannten Fall eines echten, endlichen Grenzwertes, nämlich der 0. Die Funktion nähert sich also für [mm] \pm \infty [/mm] immer mehr der Zahl 0 und damit der Geraden y=0, eben der x-Achse.
Die Mathematiker führen jetzt den Begriff der Asymptote ein, um dieses Verhalten zu charakterisieren.

Der Graph einer Funktion a heißt Asymptote zum Graphen von f, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}|f(x)-a(x)|=0[/mm]

Das bedeutet, dass eine Funktion eine Asymptote besitzt, wenn diese Asymptote für betragsmäßig große x-Werte mit dem Graphen der Funktion f zusammenfällt!

In unserem Fall wollen wir also schauen, ob die Funktion $ a(x)=0 $ eine Asymptote zu $ f(x) $ ist. Demnach müssen beide im Unendlichen "zusammenfallen".

[mm]\limes_{x\rightarrow \infty}|f(x)-a(x)|=\limes_{x\rightarrow \infty}|\bruch{1}{x}-0|=0[/mm]

In der Tat scheint die Rechnung etwas überflüssig, da sich durch -0 nicht viel ändert, mathematisch ist diese Berechnung jedoch korrekt und sinnvoll, denn sie erlaubt uns zu sagen, dass die x-Achse eine Asymptote der Funktion f ist.

Das besondere der gebrochenratonalen Funktionen ist jedoch nicht nur ihr Verhalten im Unendlichen, dass hier relativ leicht zu ermitteln war und wofür wir den Begriff der Asymptote kennengelernt haben, also einer Funktion, die den Verlauf des Graphens von f im Unendlichen angibt, sondern auch die Tatsache, dass sie Definitionslücken haben. Zum Teil wurde darauf schon in "Erklärung der Stetigkeit" eingegangen. Wir erkennen, dass die Funktion $ f(x) $ für $ x=0 $ nicht definiert ist, denn dann würden wir verbotenerweise durch 0 teilen. Also halten wir fest, f(x)  ist definiert für $ x [mm] \in \IR [/mm] $ \ {0} . Die Frage ist jedoch, was an dieser Stelle passiert! Was passiert mit dem Graphen bei $ [mm] x_0=0 [/mm] $?

Auch hier hilft uns die Grenzwertbetrachtung weiter, jedoch nicht für x gegen [mm] \infty [/mm] sondern für x gegen 0!

$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0 }\bruch{1}{x} [/mm] $ für x<0

Wir wollen also schauen, was mit dem Graphen passiert, wenn wir uns der 0 von "links" nähern, wenn wir also
sehr kleine negative x-Werte einsetzen, wie z.B. -0.001. Mit dem Taschenrechner sehen wir schnell, es gibt sehr große Funktionswerte, denn so wie $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ sehr klein wurde für große x-Werte, so muss $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ doch auch sehr groß werden, wenn x plötzlich sehr kleine Werte annimmt. Ein Bruch wird um so kleiner, je größer der Nenner ist. Er wird aber auch um so größer, je kleiner der Nenner ist. Da wir jedoch negative Werte einsetzen, erhalten wir sehr große negative Zahlen.
Unsere Überlegungen bringen folgendes Ergebnis:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0 }\bruch{1}{x}=-\infty [/mm] $ für x<0

$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0 }\bruch{1}{x}=\infty [/mm] $ für x>0

In Worten bedeutet dies, dass, wenn wir uns von links dem x-Wert 0 nähern, der Graph immer stärker ins negativ Unendliche geht, wohingegen, wenn wir von rechts kommen, der Graph offenbar stetig ins positiv Unendliche wächst. Der Funktionswert 0 wird jedoch niemals erreicht, denn hierfür ist die Funktion nicht definiert. Wir haben also an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] einen Spezialfall einer Asymptote, der allgemein als Polgerade bezeichnet wird, die Stelle [mm] x_0=0 [/mm] ist eine Polstelle. Ein Pol ist eine senkrechte Gerade, also eine Parallele zur y-Achse, die vom Graphen niemals berührt wird, der sich der Graph aber beliebig nahe anschmiegt/annähert.

Wir fassen zusammen

Unsere Funktion f mit $ [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] $ besitzt eine Asymptote $ a(x)=0 $ die das Verhalten des Graphen im Unendlichen beschreibt, der Graph nähert sich also immer mehr der x-Achse und damit der Zahl 0. Auf der anderen Seite besitzt f eine Definitionslücke bei [mm] x_0=0, [/mm] denn für diesen x-Wert ist f(x) nicht definiert. Gleichwohl können wir aber das Verhalten der Funktion an den Rändern der Definitionslücke untersuchen und stellen fest, [mm] x_0=0 [/mm] ist eine Polstelle, also eine senkrechte Asymptote, die der Graph von f niemals berührt, der er sich aber unendlich eng annähert. Zudem haben wir eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, eine sogenannte ungelichnamige Polstelle, denn wenn wir uns von links nähern, so geht der Graph von f ins negativ Unendlich, kommen wir hingegen von rechts, so strebt der Graph ins positiv Unendliche.




Die drei verschiedenen Fälle bei gebrochenrationalen Funktionen

Asymptoten haben für gebrochenrationale Funktionen deshalb eine so große Bedeutung, weil JEDE gebrochenrationale Funktion eine Asymptote besitzt (aber nicht jede Funktion generell) und weil sich diese Asymptote sehr leicht vom Grundtyp erkennen lässt, denn es gibt drei Arten, die fest definiert sind. Im Folgenden wollen wir alle drei Arten kennenlernen, wobei es immer auf die Beziehung von Nennergrad und Zählergrad ankommt:

$ [mm] f(x)=\bruch{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}...a_0x^0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}...b_0x^0} [/mm] $

Derart sieht jede ganzrationale Funktion aus. Worauf es nun ankommt, ist das Verhältnis von m zu n, also das Verhältnis zwischen Grad der Funktion im Zähler zum Grad der Funktion im Nenner (oder einfach gesagt: wer hat den höchsten Exponenten?).

Fall 1: n > m

Damit ist der Fall gemeint, dass der Nenner einen höheren Grad besitzt als der Zähler. Wir hatten eben genau diesen Fall, denn $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ besitzt im Nenner den Grad 1 und im Zähler den Grad 0. Um dennoch noch einen Repräsentanten zu haben, machen wir noch ein kleines Beispiel.

$ [mm] f(x)=\bruch{x+1}{x^2-4} [/mm] $

Wie wir sehen, ist der Grad des Nenners mit 2 größer als der Grad des Zählers mit 1. Die frage ist nun, wie Verhält sich die Funktion für x gegen [mm] \infty [/mm] und gibt es eine Asymptote, die dieses Verhalten charakterisiert?

Zuerst beginnen wir mit der Grenzwertuntersuchung (die wir danach aber weglassen können):

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}f(x)=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x+1}{x^2-4}=0 [/mm] $
$ [mm] \limes_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\limes_{x \rightarrow -\infty}\bruch{x+1}{x^2-4}=0 [/mm] $

Logisch erklären können wir dies mit der Argumentation, dass [mm] x^2 [/mm] viel schneller wächst als x, nämlich gerade im Quadrat so schnell. Wo x bei 100 genau 100 annimmt, ist [mm] x^2 [/mm] schon bei 100.000. Das bedeutet, der Nenner wird viel größer als der Zähler, wenn x gegen unendlich geht und damit haben wir den einfachen Fall von [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Das gleiche gilt für - [mm] \infty, [/mm] in diesem Fall besonders leicht zu erkennen, da das Quadrat nur positive Zahlen liefert, und das Minus gar keinen Einfluss hat.

Nun gibt es aber noch Methoden, diesen Grenzwert rechnerisch schneller zu erhalten. Zum einen ist es uns möglich, durch x zu teilen, denn einen Bruch können wir beliebig kürzen.

$ [mm] f(x)=\bruch{x+1}{x^2-4}=\bruch{1+\bruch{1}{x}}{x-\bruch{4}{x}} [/mm] $

Lassen wir jetzt x gegen [mm] \infty [/mm] gehen, so erhalten wir - ich splitte es einmal maximal auf - Folgendes:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{1+\bruch{1}{x}}{x-\bruch{4}{x}}= \bruch{\limes_{x \rightarrow \infty}(1+\bruch{1}{x})}{ \limes_{x \rightarrow \infty}(x-\bruch{4}{x}}=\bruch{\limes_{x \rightarrow \infty}1+\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{1}{x}}{ \limes_{x \rightarrow \infty}x-\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{4}{x}}=\bruch{1+0}{\infty-0}=0 [/mm] $

Ansich ist dies aber nur für diejenigen, die wirklich Verständnisprobleme mit dem Stoff haben. Ansonsten sollte auf einen Blick klar sein, dass bei [mm] x^2 [/mm] im Nenner der ganze Term gegen 0 strebt, da wie bereits gesagt [mm] x^2 [/mm] wesentlich schneller wächst.

Dennoch sei hier auf die Regel von de l'Hospital hingewießen, die dann Anwendung findet, wenn man einen Grenzwert eines Bruches bestimmen will und sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 oder [mm] \infty [/mm] streben. Genau diesen Fall haben wir, denn es gilt:

$  [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x+1}{x^2-4}= \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{\infty}{\infty} [/mm] $

Wir können zwar argumentieren, dass [mm] x^2 [/mm] schneller wächst, mathematisch gesehen streben beide Teilfunktionen jedoch gegen Unendlich, was für uns ungünstig ist. Daher besagt die Regeln von de l'Hospital, dass man bei solchen Fällen die Ableitung zu Rate ziehen kann. Wenn man sich überlegt, dass die Ableitung lediglich die Steigung der Funktion angibt, macht dieses Vorgehen Sinn, denn wenn ich die Steigungen vergleiche, vergleiche ich, welche Funktion schneller ansteigt oder abfällt.

Regel von de l'Hospital

$  [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $

für f(x) und g(x) für x gegen [mm] \infty [/mm] gleich 0 oder [mm] \infty [/mm]

Übertragen auf unseren Fall bedeutet das:

$  [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x+1}{x^2-4}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{1}{2x}=0 [/mm] $

Dieses Vorgehen gefällt mir persönlich am besten, denn das Ergebnis ist bestechend klar. Aber wie gesagt, wir schießen mit Kanonen auf Spatzen ;)


Ich sollte hier noch dazu sagen, dass die Funktion zwei Definitionslücken bei [mm] x^2=4 [/mm] also bei [mm] x_{1/2}=\pm [/mm] 2 besitzt. Wer mehr dazu wissen will, schaue bitte bei "Erklärung der Stetigkeit", dort wird darauf explizit eingegangen. Wir erkennen jedoch für [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=-2, [/mm] dass es keinen echten Grenzwert gibt, sondern dass die Funktion an diesen Stellen eine Polgerade besitzt und dass die Def-Lücken Polstellen sind.

$  [mm] \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{2+h+1}{(2+h)^2+4}=\bruch{h+3}{8+4h+h^2} [/mm] $

$  [mm] \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{2-h+1}{(2-h)^2+4}=\bruch{-h+3}{8-4h+h^2} [/mm] $

Wir sehen, kein einheitlicher Grenzwert

$  [mm] \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{-2+h+1}{(-2+h)^2+4}=\bruch{h-1}{8-4h+h^2} [/mm] $

$  [mm] \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{-2-h+1}{(-2-h)^2+4}=\bruch{-h-3}{8+4h+h^2} [/mm] $

Wir sehen abermals, kein einheitlicher Grenzwert

Ergo sind die Def-Lücken Polstellen mit Vorzeichenwechsel.




Fall 2: n = m

Nun schauen wir uns den zweiten Fall an, in dem es um Funktionen geht, die im Zähler und Nenner den gleichen Grad haben.

$ [mm] f(x)=\bruch{x^2+3}{x^2-5} [/mm] $

Eine wunderschöne Funktion, die wir ebenso untersuchen wollen, wie die bisherigen. Dazu nutzen wir erst einmal wieder die allgemeine Darstellungsweise:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x^2+3}{x^2-5}=? [/mm] $

Zunächst stellen wir fest, dass beide Terme wieder einmal gegen [mm] \infty [/mm] streben. Wie oben auch, so wollen wir uns hier mit dem diesmal wirklich effizienten Trick des Teilens durch x behelfen. Da wir diesmal nur einen einzigen Faktor haben, können wir direkt durch [mm] x^2 [/mm] teilen. Bei gebrochenrat. Funktionen, deren Zählergrad und Nennergrad übereinstimmen, teilen wir immer durch das x mit dem höchsten Exponenten, also hier durch [mm] x^2 [/mm]

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x^2+3}{x^2-5}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{1+\bruch{3}{x^2}}{1-\bruch{5}{x^2}}=1 [/mm] $

Da wir schon etwas Erfahrung mit Grenzwertbetrachtungen haben, leuchtet uns dieser Grenzwert direkt ein. Denn alle Terme von der Form [mm] \bruch{1}{x} [/mm] müssen ja für x gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0 streben und fallen somit weg. Übrig bleibt ein absolutes Glied, das hier den Wert 1 annimmt.

Für den Grenzwert gegen - [mm] \infty [/mm] gilt natürlich dasselbe, denn am Ergebnis ändert sich nichts, zumal wir hier [mm] x^2 [/mm] haben.

$ [mm] \limes_{x \rightarrow -\infty}\bruch{x^2+3}{x^2-5}=\limes_{x \rightarrow -\infty}\bruch{1+\bruch{3}{x^2}}{1-\bruch{5}{x^2}}=1 [/mm] $  

Auch hier könnten wir de l'Hospital anwenden, obgleich es überflüssig ist:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x^2+3}{x^2-5}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{2x}{2x}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{2}{2}=1 [/mm] $

Damit erhalten wir also die Zahl 1 als Grenzwert für die Funktion f(x) für x gegen [mm] \pm \infty. [/mm] Ist a(x)=1 aber auch eine Asymptote von f(x)?

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}|f(x)-a(x)|=\limes_{x \rightarrow \infty}|\bruch{x^2+3}{x^2-5}-1|=0 [/mm] $

Offensichtlich muss dieser Zusammenhang gelten, denn der Grenzwert von f(x) ist ja gerade 1! Da ich von diesem Grenzwert den Grenzwert selbst abziehe (a(x)=1), muss das Ergebnis für x gegen [mm] \infty [/mm] 0 lauten. Da dem so ist, kann die Gerade y=1 als Asymptote von f bezeichnet werden.

Auch hier haben wir wieder zwei NST des Nenners, die Polstellen sind ($  [mm] x_{1/2}=\pm \wurzel{5} [/mm] $) und damit senkrechte Asymptoten.

Ein anderes Beispiel soll diese Asymptotenklasse verdeutlichen:

$ [mm] f(x)=\bruch{3x^3+2x^2-5}{x^3+x-10} [/mm] $

Diesmal haben wir eine wirklich wild gemischte Funktion, die auch noch ungleichmäßige Grade aufweißt. Dennoch stellt uns dies rechnerisch vor kein Problem, wir wenden konsequent das an, was wir gelernt haben, teilen also durch [mm] x^3, [/mm] da [mm] x^3 [/mm] der größte Grad der Funktion ist:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{3x^3+2x^2-5}{x^3+x-10}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{3+\bruch{2}{x}-\bruch{5}{x^3}}{1+\bruch{1}{x^2}-\bruch{10}{x^3}} [/mm] = 3 $

Wir erhalten also als Asymptote von f die Funktion a(x)=3, eine Parallele zur x-Achse.




Fall 3: n < m

Nun endlich können wir den kompliziertesten Fall besprechen, wenn der Zählergrad größer ist als der Nennergrad. Als Beispiel wählen wir:

$ [mm] f(x)=\bruch{x^3}{x+1} [/mm] $

Diese Funktion gibt uns zunächst Rätsel auf. Wir können nicht ohne weiteres sagen, wie sie sich für x gegen [mm] \intfy [/mm] verhalten wird, denn weder fallen die Faktoren weg, noch können wir einen einfacheren Fall zu Grunde legen.

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x^3}{x+1}=? [/mm] $

Würden wir wieder versuchen, mit teilen weiterzukommen, so kämen wir auf:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x^3}{x+1}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{x^3}} [/mm] $

Damit würden wir vermuten, der Grenzwert wäre [mm] \bruch{1}{0}, [/mm] nicht wirklich befriedigend...oder wir würden vermuten, er wäre [mm] \infty, [/mm] da wir 1 durch eine sehr kleine Zahl teilen, wodurch der Gesamtausdruck sehr groß wird.

Eine Probe mit dem Taschenrechner bestätigt unsere Vermutung, dass wir es mit einem unendlichen Grenzwert von [mm] \infty [/mm] zu tun haben, da wir ja auch logisch argumentieren können, indem wir sagen, [mm] x^3 [/mm] wächst schneller als jedes x. Nur rechnerisch scheint das Ganze etwas problematisch. Versuchen wir es mit de l'Hospital:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x^3}{x+1}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{3x^2}{1}=\infty [/mm] $

Damit haben wir eine Bestätigung unserer Vermutung, aber noch keine Asymptote. Gibt es keine? Offenbar scheint eine Funktion von [mm] x^2 [/mm] den Verlauf zu bestimmen, aber wie können wir dies bestätigen?

Nun gibt es für dieses Problem die Polynomdivision. Die Polynomdivision ermöglicht das Teilen von Polynomen durcheinander, analog zum Dividieren von Zahlen. Die Polynomdivision dürfte bereits bekannt sein als Maßname zur NST-Bestimmung von Polynomen mit Graden höher als 2. Wenn man ein Polynom durch seine Nullstelle teilt, dann erhält man eine Funktion, die ein Grad niederiger ist ohne Rest. Diesmal jedoch werden wir einen Rest erhalten:

$ [mm] (x^3):(x+1)=x^2-x+1 [/mm] $
$ [mm] -(x^3+x^2) [/mm] $
$    0   -  [mm] x^2 [/mm] $
$ [mm] -(-x^2-x) [/mm] $
$    0   + x  $
$ -(x+1)  $
$    0   -1  $

An dieser Stelle können wir nicht weiter verfahren, denn es ist kein Term mehr für x da, den wir teilen könnten. Der Rest ist der Rest der Polynomdivision, wir erhalten also:

$ [mm] (x^3):(x+1)=x^2-x+1+\bruch{-1}{x+1} [/mm] $  

Wir haben also die Ausgangsfunktion f(x) so umgeformt, dass sie aus einem ganzrationalen und einem gebrochenrationalen Teil besteht! Wir haben sie lediglich umgeformt! Wir haben noch keine Veränderung durchgenommen, wie etwa durch x geteilt oder sonstiges, was wir gar nicht hätten tun dürfen bei der normalen Betrachtung. Wir können nun also auch schreiben:

$ [mm] f(x)=x^2-x+1+\bruch{-1}{x+1} [/mm] $

Und nun haben wir einen großen Vorteil und sehen Licht am Ende des Tunnels, denn für unseren Grenzwert für x gegen [mm] \infty [/mm] erhalten wir nun eine klare Lösung:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}x^2-x+1+\bruch{-1}{x+1} [/mm] $

Wir sehen sofort, dass der gebrochenrationale Term wegfällt, denn er entspricht wieder dem altbekannten m<n, und damit wird der Term 0. Damit bleibt die ganzrationale Funktion übrig, die natürlich den unendlichen Grenzwert + [mm] \intfy [/mm] hat, die aber auch unsere gesuchte Asymptote ist!

Wir können nämlich sagen:

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}|f(x)-a(x)|=\limes_{x \rightarrow \infty}|x^2-x+1+\bruch{-1}{x+1}-(x^2-x+1)|=0 [/mm] $

Wenn wir also den ganzrationalen Teil einer Polynomdivision als Gleichung der Asymptote a(x) zur Funktion f(x) auffassen, dann liegen wir damit richtig, denn die Grenzwertbetrachtung für f(x)-a(x) liefert uns 0, da der Term, der übrig bleibt, einen größeren Grad im Nenner hat.
Damit haben wir also unsere Asymptote für f gefunden. Es handelt sich um keine Zahl, sondern um eine Funktion. Dies bedeutet für den Graphen, dass er sich für x gegen [mm] \pm \intfy [/mm] dieser Funktion immer mehr annähert, sie aber niemals berührt. Man kann also jetzt mit diesen Informationen die Funktion a(x) ganz dünn als Asymptote in sein Koordinatensystem einzeichnen und hat damit eine gute Hilfe zum Zeichnen des Graphen f(x), der sich ja an diese Asymptote anschmiegen muss.

Wir wollen noch ein Beispiel rechnen, um diesen ungewöhnlichen Fall besser verstehen zu lernen:

$ [mm] f(x)=\bruch{x^2+4}{x-2} [/mm] $

Wir machen sofort eine Polynomdivision:

$ [mm] (x^2+4):(x-2)=x+2+\bruch{+4}{x-2} [/mm] $

Wir erhalten somit die Asymptote a(x)=x+2

Diesmal handelt es sich um keine Parabel, sondern um eine Gerade mit der Steigung 1 und dem y-Achsenschnittpunkt -2. Offenbar hält der dritte Fall also verschiedene Asymptoten bereit. Damit sind wir am Ende angelangt und es folgt eine Zusammenfassung.




Abschließende Worte und Allgemeines:

Wir haben nun drei Fälle von gebrochenrationalen Funktionen kennengelernt. Wir wollen jetzt unsere Erkenntnisse dazu zusammentragen.

1. Wenn der Nennergrad größer ist als der Zählergrad, so ist die Asymptote immer die x-Achse bzw. der Grenzwert die Zahl 0. Rechnerisch können wir dies mit de l'Hospital oder durch das Teilen durch x (hier mit dem kleinsten Grad) oder aber durch logische Argumentation und entsprechende Umformung beweisen.

2. Wenn der Nennergrad gleich dem Zählergrad ist, so erhalten wir eine Asymptote, die immer eine Parallele zur x-Achse ist, hier kann der Grenzwert jedoch beliebig variieren, wir erhalten also eine Asymptote der Form y=c mit c [mm] \in \IR [/mm] jedoch niemals etwas anderes als eine Gerade. Rechnerisch haben wir dies ebenfalls durch das Teilen durch x oder durch de l'Hospital nachgewießen.

3. Wenn der Zählergrad größer als der Nennergrad ist, so entspricht die Asymptote einer ganzrationalen Funktion a(x), deren Grad m-n entspricht. Der dritte Fall bietet also die größte Varietät von Asymptoten, der Grad der Asymptote kann jedoch direkt abgelesen werden, denn er entspricht der Differenz von Zähler- und Nennergrad. Zur Berechnung der Asymptote muss deie Polynomdivision durchgeführt werden.


Am Ende möchte ich noch erwähnen, dass nicht nur gebrochenrationale Funktionen Asymptoten besitzen können.
Wir hatten Eingangs das Beispiel $ [mm] f(x)=5+e^{-2x} [/mm] $. Für x gegen [mm] \infty [/mm] gilt

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}5+e^{-2x}=5 [/mm] $

Dieses Ergebnis ist zugleich aber auch eine Asymptote von f(x), denn es gilt

$ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}|5+e^{-2x}-5|=0 [/mm] $

Wie man sieht, können die unterschiedlichsten Funktionen Asymptoten haben. Um dies zu prüfen, muss man lediglich die Definition der Asymptote überprüfen und schauen, ob der Grenzwert 0 ist, d. h. ob die Asymptote mit dem Graphen der ursprungsfunktion zusammenfällt.

Weitere Funktionen mit einer Asymptote sind z.B.

$ [mm] f(x)=sin(x)+\bruch{1}{x} [/mm] $ mit $ a(x)=sin(x) $

$ [mm] f(x)=\bruch{e^{2x}+1}{e^x} [/mm] $ mit $ [mm] a(x)=e^x [/mm] $



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