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Forum "Differenzialrechnung" - Verhalten im Unendlichen f(x)
Verhalten im Unendlichen f(x) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verhalten im Unendlichen f(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Sa 17.07.2010
Autor: give_me_hope

Aufgabe
[mm] f(x)=\bruch{2}{1+e^{-x}} [/mm]
a) verzhalten der Funktiion im unendlichen
b)f'(x)und f''(x)
c)Zeige dass die Funktion streng monoton steigend ist!
d)Zeigen Sie dass die Funktion genau einen Wendepunkt hat und bestimmen sie dessen Lage!    

Stimmt folgendes?
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{2}{1+e^x}=0 [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2}{1+e^x}=0 [/mm]

b)

f'(x)=       [mm] \bruch{2e^{-x}}{{(1+e^{-x}})^2} [/mm] =  [mm] \bruch{2*e^x}{1+2e^{-x}*e^{-x*2}} [/mm]


Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Verhalten im Unendlichen f(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Sa 17.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo [cod€]give_me_hope[/code],

> [mm]f(x)=\bruch{2}{1+e^x}[/mm]
>  a) verzhalten der Funktiion im unendlichen
>  b)f'(x)und f''(x)
>  c)Zeige dass die Funktion streng monoton steigend ist!
>  d)Zeigen Sie dass die Funktion genau einen Wendepunkt hat
> und bestimmen sie dessen Lage!    
> Stimmt folgendes?
>  [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{2}{1+e^x}=0[/mm] [notok]

Na, was treibt denn [mm] $e^x$ [/mm] für [mm] $x\to-\infty$? [/mm]

Das geht doch gegen 0, also der Gesamtbruch gegen [mm] $\frac{2}{1+0}=2$ [/mm]

>  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2}{1+e^x}=0[/mm] [ok]
>  
> b)
>  
> f'(x)=       [mm]\bruch{2e^{-x}}{{(1+e^{-x}})^2}[/mm] =  [haee]

Woher kommen die negativen Exponenten?

> [mm]\bruch{2*e^x}{1+2e^{-x}*e^{-x*2}}[/mm]

?? Wie kommst du vom Term davor heirhin?

Rechne mal ausführlich vor, dann finden wir den Fehler ...
  
>
> Gruß
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Verhalten im Unendlichen f(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Sa 17.07.2010
Autor: give_me_hope

Sorry die aufgabe muß heißen: [mm] f(x)=\bruch{2}{1+e^{-x}} [/mm]
Daraus ergibt sich für a
$ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{2}{1+e^x}=0 [/mm] $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2}{1+e^x}=2 [/mm] $

Und stimmt dann die Ableitung!
[mm] \bruch{2e^{-x}}{{(1+e^{-x}})^2} [/mm]

Gruß
Bezug
                        
Bezug
Verhalten im Unendlichen f(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Sa 17.07.2010
Autor: DesterX

Hallo!

> Sorry die aufgabe muß heißen: [mm]f(x)=\bruch{2}{1+e^{-x}}[/mm]
>  Daraus ergibt sich für a
>  [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{2}{1+e^{-x}}=0[/mm]
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2}{1+e^{-x}}=2[/mm]

(hab das fehlende Minus mal übernommen, ansonsten:)
[ok]

> Und stimmt dann die Ableitung!
>  [mm]\bruch{2e^{-x}}{{(1+e^{-x}})^2}[/mm]

[ok]

Gruß, Dester
Bezug
                                
Bezug
Verhalten im Unendlichen f(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Sa 17.07.2010
Autor: give_me_hope

Kann ich
[mm] \bruch{2e^{-x}}{{(1+e^{-x}})^2} [/mm] noch vereinfachen?

[mm] =\bruch{2\cdot{}e^{-x}}{1+2e^{-x}\cdot{}e^{-x\cdot{}2}} [/mm]
ist das falsch?( habe den unteren Bruch ausmultipliziert)


Gruß gmh
Bezug
                                        
Bezug
Verhalten im Unendlichen f(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Sa 17.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Kann ich
> [mm]\bruch{2e^{-x}}{{(1+e^{-x}})^2}[/mm] noch vereinfachen?
>  
> [mm]=\bruch{2\cdot{}e^{-x}}{1+2e^{-x}\cdot{}e^{-x\cdot{}2}}[/mm]
> ist das falsch?( habe den unteren Bruch ausmultipliziert)

Das kannst du natürlich machen und es ist richtig, aber ob das nun eine Vereinfachung ist, ist Geschmackssache.

Ich finde den ersten Term schöner ;-)

>  
>
> Gruß gmh


LG

schachuzipus
Bezug
        
Bezug
Verhalten im Unendlichen f(x): f''(x)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Sa 17.07.2010
Autor: give_me_hope

Hallo
[mm] f'(x)=\bruch{2e^{-x}}{{(1+e^{-x}})^2} [/mm]



f''(x)=?

mit [mm] u=2*e^{-x} [/mm]    
     [mm] u'=-e^{-x} [/mm]
     [mm] v=(1+e^{-x} [/mm]    
      [mm] v'=-e^{-x*2} [/mm]

f''(x)= [mm] \bruch{-e^{-x}*{(1+e^{-x})}^2+e^{-x*2}*2*e^{-x} }{(1+e^{-x})^4} [/mm]

Stimmt dei zweite Ableitung?

Gruß
Bezug
                
Bezug
Verhalten im Unendlichen f(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Sa 17.07.2010
Autor: leduart

Hallo
> Hallo
>  [mm]f'(x)=\bruch{2e^{-x}}{{(1+e^{-x}})^2}[/mm]
>  
>
>
> f''(x)=?
>  
> mit [mm]u=2*e^{-x}[/mm]    
> [mm]u'=-e^{-x}[/mm]
>       [mm]v=(1+e^{-x}[/mm]  

wieso?
v= [mm] (1+e^{-x})^2 [/mm]
und dann ist die Ableitung falsch, und damit der Rest.
> [mm]v'=-e^{-x*2}[/mm]

Gruss leduart
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