Verhalten von e-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 So 04.05.2008 | | Autor: | DarkRose |
| Aufgabe | Führen Sie die komplette Kurvendiskussion für folgende Funktionen durch:
1) [mm] f(x)=(-0,5x^3+1,5x+1) [/mm] e^-0,5x
2) [mm] f(x)=(-x^3+6x^2-8x-1) e^1/4x-1
[/mm]
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Hallöchen!
Ich schreibe am Dienstag eine Mathe- Klausur und seit ein paar Tagen dabei, Aufgabenstellungen aus dem Unterricht nochmal zu rekapitulieren und die einzelnen Aufgaben nochmal nachzurechnen.
Für die o.g. Funktionen haben wir in der Schule die komplette Kruvendiskussion durchgeführt. Allerdings bin ich beim Wiederholen beim "Verhalten an den Definitionsrändern" ins Stocken geraten.
Für Funktion 1) haben wir folgende Ergebnisse:
lim x--> [mm] -\infty [/mm] : [mm] (-0,5x^3+1,5x+1) [/mm] =0
e^-0,5x = +
--> geht gegen 0
lim x--> [mm] +\infty [/mm] : [mm] (-0,5x^3+1,5x+1) [/mm] = +
e^-0,5x = +
--> geht gegen + [mm] \infty
[/mm]
Für Funktion 2) haben wir folgende Ergebnisse:
lim x--> [mm] -\infty [/mm] : [mm] (-x^3+6x^2-8x-1)= [/mm] +
[mm] e^1/4x-1=0
[/mm]
--> geht gegen 0
lim [mm] x-->+\infty [/mm] : [mm] (-x^3+6x^2-8x-1) [/mm] = -
[mm] e^1/4x-1 [/mm] = +
--> geht gegen [mm] -\infty
[/mm]
Ich habe irgendwann mal gelernt (ob das stimmt, weiß ich nicht), dass man e nie hoch eine negative Zahl nehmen darf bzw dass die Funktion dann gegen 0 geht. Stimmt das?
Ich frage mich nämlich, warum bei der Funktion 2) bei lim x--> [mm] +\infty [/mm] bei dem e-Teil ein + rauskommt (weil wir ja immer +1 für x einsetzen sollen), obwohl man da ja e hoch eine negative Zahl nimmt, nämlich:
[mm] e^1/4*1-1=e^-3/4
[/mm]
Bei lim x--> [mm] -\infty [/mm] kommt bei dem e-Teil aber eine 0 raus, obwohl man da auch e hoch eine negative Zahl nimmt, nämlich 8wenn wir für x -1 einsetzen):
[mm] e^1/4*(-1)-1=e^-5/4
[/mm]
Kann mir das jemand erklären? oder haben wir da in der Schule einen Fehler gemacht?
Bei Aufgabe 1) ist es wiederum ganz anders:
Da kommt bei dem e-Teil bei sowohl [mm] +\infty [/mm] als auch bei [mm] -\infty [/mm] ein + raus, obwohl wir auch da bei lim x--> [mm] +\infty [/mm] ja eine negative Zahl als Exponenten des e-Teils hätten, nämlich:
e^-0,5*1=e^-0,5
Bin total verzweifelt. Würde mich so freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Habe auch schon meinen Vater gefragt, aber der wusste auch keinen Rat. Wann geht der e-Teil gegen 0? Wenn man e hoch eine negative Zahl nimmt?
Danke schon mal im Voraus. =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 So 04.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ich dich richtig verstanden habe geht es dir im Wesentlichen um die Funktion [mm] e^{-0,5x} [/mm] für x gegen + und - unendlich. Stimmts?
1. natürlich kann man jede Zahl, also auch e mit einer negativen Zahl potenzieren.
[mm] e^{-r} [/mm] ist eine andere Schreibweise für [mm] \bruch{1}{e^r} [/mm] egal was r ist!
2. die e-fkt mit positivem Exponenten also [mm] e^{rx} [/mm] r>0 steigt mit wachsendem x stärker als jede Potenz von x, deshalb fällt [mm] e^{-rx}=\bruch{1}{e^rx} [/mm] schneller gegen Null für große x als jede Potenz von x:
alsoz.Bsp : [mm] x^7*e^{0,5x} [/mm] geht für positive x gegen unendlich, für negative x dann entsprechend gegen 0
und [mm] x^{irgendwas}*e^{-0,5x} [/mm] geht für positive x gegen unendlich gegen 0, für negative x gegen unendlich, (-unendlich falls irgendwas ungerade, + unendlich falls irgendwas gerade.)
Wenn in 2) steht [mm] e^{\bruch{1}{4x-1}} [/mm] musst du natürlich sehen dass
[mm] \bruch{1}{4x-1} [/mm] für x gegen + oder - [mm] \infty [/mm] gegen 0 geht und [mm] e^0=1
[/mm]
Ich hoffe, das waren deine Fragen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 04.05.2008 | | Autor: | DarkRose |
| Aufgabe | | [mm] e^1/4x-1 [/mm] |
Hi, danke für die schnelle Antwort. :)
Es geht mir aber mehr um folgendes: [mm] e^1/4x-1
[/mm]
Warum ist bei x gegen [mm] -\infty [/mm] e gegen 0 und bei x gegen [mm] +\infty [/mm] e gegen [mm] +\infty?
[/mm]
Das macht doch gar keinen Sinn. *am Kopf kratz*
Wenn ich für x gegen [mm] -\infty [/mm] für x -1 einsetze, dann würde da stehen:
[mm] e^1/4*(-1)-1 [/mm] --> Das ist dann doch aber e^-5/4
Und wenn ich für x gegen [mm] +\infty [/mm] für x 1 einsetze, dann würde da stehen:
[mm] e^1/4*1-1 [/mm] ---> Das wäre dann e^-3/4
Wieso also geht e^-3/4 gegen 0, aber e^-5/4 nicht? Das liegt doch zahlenmäßig nicht so weit auseinander.
Sorry, falls das zu wirr ist....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 04.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn mehr als ein Zeichen im Exponent stehen soll musst du geschweifte Klammern drum machen klick mal auf meins, dann siehst dus.
[mm] f(x)=e^{\bruch{1}{4x-1}}
[/mm]
für x gegen [mm] +\infty [/mm] geht [mm] \bruch{1}{4x-1} [/mm] gegen 0 (du solltest nicht 1 sondern ne große Zahl einsetzen) alo z.Bsp x=1000 und [mm] \bruch{1}{3999} [/mm] ist beinahe 0 und [mm] e^0=1 [/mm]
ebenso [mm] \bruch{1}{-4001} \approx [/mm] 0 also [mm] =e^{\bruch{1}{4x-1}} [/mm] gegen [mm] e^0 [/mm] für x gegen [mm] +\infty [/mm] und gegen [mm] -\infty!
[/mm]
für die ganze Funktion musst du jetzt noch die Klammer davor ansehen, da kommt es für große x nur auf das [mm] -x^3 [/mm] an, das wird [mm] +\infty [/mm] für x gegen [mm] -\infty, -\infty [/mm] für x gegen + [mm] \infty, [/mm] deine ganze fkt aus 2) geht also für x gegen [mm] \-infty [/mm] gegen [mm] +\infty, [/mm] und für x gegen [mm] +\infty [/mm] gegen - [mm] \infty.
[/mm]
Das was du im ersten post als Mitschrieb aus der Schule hast ist einfach falsch. (vielleicht falsch abgeschrieben, oder nur Teile?) Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 04.05.2008 | | Autor: | DarkRose |
Danke =)
Das habe ich nämlich auch schon gedacht, dass das mit dem Verhalten falsch sein könnte für Funktion 2). Weil die Funktion1) erscheint mir sonst total logisch vom Verhalten her, aber wenn ich mir Funktion 2) angucke, ging alles wieder flöten.^^
Also geht die Funktion 2) auf gar keiner Seite gegen 0? Weil wir nämlich den Graphen der Funktion auch gemacht haben und da geht die Funktion auf der negativen Seite gegen 0 bzw kommt von 0.
Das ist echt seltsam irgendwie.
Bin eigentlich gut in Mathe, hab immer 13-15 Punktis aufm Zeugnis und dann hapert es bei solchen Sachen. Das regt mich echt auf. *grummel*
Wann geht denn der e-Teil überhaupt mal gegen 0? Also, dass man zB für den ersten Fall x^irgendwas geht gegen [mm] +\infty [/mm] bei [mm] +\infty [/mm] und bei dem e-Teil dann gegen Null, sodass die Funktion im positiven Bereich sich der x-Achse annähert? (Die Tatsache soll aber von dem e-Teil ausgehen und nicht von dem ersten Teil in Klammern). Gibts das denn?
LG und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 04.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest das Verhalten für x gegen [mm] \infty [/mm] angesprochen!
Aber das hast du verwechselt mit dem Verhalten an der Stelle , wo [mm] \bruch{1}{4x-1} [/mm] nicht definiert ist, also bei 4x-1=0 x=1/4
wenn man an diese Stelle von links ranrückt also von x<1/4 , dann geht der Bruch gegen [mm] -\infty, [/mm] also e^ gegen 0. wenn man von x>1/4 kommt, geht der Bruch gegen + [mm] \infty, [/mm] also gegen unendlich, die Klammer ist negativ, also gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Die Diskussion für x gegen [mm] \pm\infty [/mm] hat damit nichts zu tun.
Gruss leduart
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