Verifikation Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] R_1, R_2 [/mm] zwei Ringe. Wir definieren auf der Produktmenge R = [mm] R_1 \times R_2 [/mm] zwei Verknüpfungen durch
(a,b)+(a',b') = (a+a',b+b') und (a,b) * (a',b') = (aa',bb')
Verifizieren Sie, dass R dadurch zu einem Ring wird. Handelt es sich dabei um einen Körper, falls [mm] R_1, R_2 [/mm] Körper sind? |
War in der Vorlesung dazu leider krank, habe versucht mich mithilfe von Youtube Videos schlau zu machen, verstehe aber leider nur Bahnhof.
Ich bin mittlerweile soweit gekommen, dass ich weiß, wie es theoretisch verifiziert werden kann (Überprüfen der Eigenschaften abelsche Gruppe bei [mm] (R_1, R_2, [/mm] + ), Halbgruppe bei [mm] (R_1 [/mm] , [mm] R_2 [/mm] , [mm] \times [/mm] ) , Distributivgesetze).
Bin mir leider unsicher, wie ich diese Eigenschaften für die Aufgabe überprüfe.
Danke sehr im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Di 04.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]R_1, R_2[/mm] zwei Ringe. Wir definieren auf der
> Produktmenge R = [mm]R_1 \times R_2[/mm] zwei Verknüpfungen durch
>
> (a,b)+(a',b') = (a+a',b+b') und (a,b) * (a',b') =
> (aa',bb')
>
> Verifizieren Sie, dass R dadurch zu einem Ring wird.
> Handelt es sich dabei um einen Körper, falls [mm]R_1, R_2[/mm]
> Körper sind?
> War in der Vorlesung dazu leider krank, habe versucht mich
> mithilfe von Youtube Videos schlau zu machen, verstehe aber
> leider nur Bahnhof.
>
> Ich bin mittlerweile soweit gekommen, dass ich weiß, wie
> es theoretisch verifiziert werden kann (Überprüfen der
> Eigenschaften abelsche Gruppe bei [mm](R_1, R_2,[/mm] + ),
> Halbgruppe bei [mm](R_1[/mm] , [mm]R_2[/mm] , [mm]\times[/mm] ) ,
> Distributivgesetze).
was ist denn bei Dir [mm] $R_1,R_2$? [/mm] Das Ding oben heißt
[mm] $R=R_1 \times R_2\,,$
[/mm]
es ist
[mm] $R_1 \times R_2=\{(a,b) \mid a \in R_1 \wedge b \in R_2\}\,.$
[/mm]
> Bin mir leider unsicher, wie ich diese Eigenschaften für
> die Aufgabe überprüfe.
Ich schreibe mal aus didaktischen Gründen zunächst lieber
[mm] $\oplus$
[/mm]
für die Addition auf [mm] $R\,,$ [/mm] also
$(a,b) [mm] \oplus [/mm] (a',b'):=(a+a', [mm] b+b')\,.$
[/mm]
Ist Dir übrigens klar, dass rechterhand zwei verschiedene Additionen stehen,
die auch schon das selbe Symbol (+) benutzen? In der ersten Komponente
ist die Addition "auf [mm] $R_1$", [/mm] in der zweiten die "auf [mm] $R_2$" [/mm] gemeint.
Wie prüft man nun etwa, ob [mm] $\oplus$ [/mm] auch assoziativ ist?
Zu zeigen: Für (alle) $(a,b),(a',b'),(a'',b'') [mm] \in [/mm] R$ gilt
$(a,b) [mm] \oplus \red{\,(\,}(a',b') \oplus (a'',b'')\red{\,)\,}=\red{\,(\,}(a,b) \oplus (a',b')\red{\,)\,} \oplus [/mm] (a'',b'')$
Jetzt zum Beweis: Um die Bedeutung von *Klammern* hier deutlicher zu machen,
schreibe ich mal (in ungewöhnlicher Weise) [mm] $\vektor{a\\b}^T=(a,b)\,.$ [/mm] Wir haben dann
[mm] $\vektor{a\\b}^T \oplus \red{\,(\,}\vektor{a'\\b'}^T \oplus \vektor{a''\\b''}^T\red{\,)\,}=\vektor{a\\b}^T \oplus \vektor{\blue{\overbrace{a'+a''}^{\in R_1}}\\\underbrace{b'+b''}_{\in R_2}}^T=\vektor{\blue{\overbrace{a+(a'+a'')}^{\in R_1}}\\\underbrace{b+(b'+b'')}_{\in R_^2}}^T$
[/mm]
[mm] $=\vektor{\blue{\overbrace{(a+a')+a''}^{\in R_1}}\\\underbrace{(b+b')+b''}_{\in R_^2}}^T=...$
[/mm]
Frage an Dich: Hast Du eine Idee, wie man die letzte Gleichheit begründet?
(Was mach' ich da *komponentenweise*? Und warum darf ich das?)
Wie geht's weiter?
Und bei den restlichen nachzuprüfenden Axiomen ist die Vorgehensweise
analog bzw. ähnlich!
Gruß,
Marcel
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