Verifiziere Satz von Stokes < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Fr 22.04.2011 | | Autor: | frozer |
| Aufgabe | Gegeben sei ein zweidimensionales Vektorfeld mit den Komponenten
[mm]E_x = 2 \cdot b \cdot x \cdot y[/mm] und [mm]E_y = x^2 + a \cdot y^2[/mm]
Verifiziere den Stokes’schen Integralsatz durch Auswertung des Wegintegrals über die Kontur C und des Flächenintegrals über die eingeschlossene Fläche F .
http://img594.imageshack.us/img594/7226/12345678909876543234567.png
(a und b sind konstanten die in einem späteren aufgabenteil bestimmt werden sollen, das hab ich erfolgreich geschafft...) |
erstmal das was ich habe:
nach Stokes gilt:
[mm] \integral_{F} rot(\vec{A}) \cdot d\vec{F} = \integral_{\partial F} \vec{A} \cdot d\vec{s} [/mm]
Für die Rotation von E hab ich
[mm] rot(E) = (2 \cdot x - 2 \cdot b \cdot x) \cdot \vec{e_z} [/mm]
und jetzt meine Frage wie mache ich weiter???
das größte problem was ich grad hab irgendwie über den Rand des Dreiecks zu integrieren.....den Flächeninhalt bekomm ich grad so hin xD
vielen dank für jede hilfe :)
hab die frage in keinem anderen forum gestellt und hoffe ich hab den richtigen thread erwischt.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Fr 22.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
den Rand des gebietes musst du parametrisieren, in 3 Stücken z, Bsp
[mm] c_1(t)=\vektor(a*t\\0) [/mm] t =0 bis 1, oder [mm] c_1(t)=c_1(t)=\vektor(t\\0) [/mm] t=0 bis a dann hoff ich du kommst weiter, achte drauf wierum der Weg läuft, damit du beim letzten t wieder bei 0 ankommst
Wenn du ne Parametrisierung hast dann ist [mm] d\vec{s}=c'*dt [/mm]
das Integral dann über die 3 Stücke einfach.
im ersten Teil ist
dF [mm] =dx*dy*e_z [/mm] sodass du nur über den Betrag von rot integrieren musst.
die Grenzen sind da die gerade y=b/a*x ist oder x=a/by je nach dem ob du zuerst über x oder über y integrierst, das äißere integral dann von o bis b oder o bis a
Wenn du die Grenzen richtig hast muss wenn du nur über dxdy ntegrierst ja ddie dir bekannte fläche a*b/2 rauskommen (das nur zur Kontrolle.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 23.04.2011 | | Autor: | frozer |
hi, vielen dank für die schnelle antwort....
ich habe mich mal für folgende parametrisierung entschieden....
[mm]c_1(t) = \begin{pmatrix} a\cdot t \\ 0 \end{pmatrix}, t \in [0,1][/mm]
für das untere dreieckstück
[mm]c_2(t) = \begin{pmatrix} a \\ b \cdot t \end{pmatrix}, t \in [0,1][/mm]
für das wagerechte dreieckstück
[mm]c_3(t) = \begin{pmatrix} a - a\cdot t \\ b - b \cdot t \end{pmatrix}, t \in [0,1][/mm]
und für die grade
ist das richtig so?
für meine integration von rot(E)
ergibt sich:
[mm] \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{b} [/mm] (2x-2bx) [mm] \vec{e_z} \cdot [/mm] dy dx [mm] \vec{e_z}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{b} [/mm] (2x-2bx) [mm] \cdot [/mm] dy dx =
[mm] \integral_{0}^{a} [/mm] (2xb-2b^2x) [mm] \cdot [/mm] dx =
[mm] \left[ (x^2 b-b^2 x^2) \right]^{a}_{0}= (a^2 [/mm] b [mm] -b^2 a^2) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] =a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \cdot [/mm] 1/2 ?????wirklich? bitte zeigen :D
vielen dank
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Sa 23.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst nicht über y so integrieren, das geht doch bis zu der geraden y=b/a*x das ist die obere Grenze für das innere Integral (also mit dy)
du hast über ein rechteck integriert!
Deine parametrisierung für das randintegral ist richtig.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:27 Sa 23.04.2011 | | Autor: | frozer |
erstmal vielen dank für deine antwort aber ich stell mich grad etwas zu doof an....
und zwar hab ich ja:
[mm] \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{\bruch{b \cdot x}{a}} [/mm] 2x-2bx dy dx
richtig?
das wäre ja dann:
[mm] \integral_{0}^{a} \dfrac{b \cdot x}{a} \cdot [/mm] (2x-2bx) dx
= [mm] \integral_{0}^{a} \bruch{2 b \cdot x^2}{a} [/mm] - [mm] \bruch{ 2 b^2 \cdot x^2}{a} [/mm] dx
= [mm] \left[ \bruch{2 b \cdot x^3}{3a} - \bruch{ 2 b^2 \cdot x^3}{3a} \right]^a_0
[/mm]
= [mm] \left[ \bruch{2 b \cdot a^3}{3a} - \bruch{ 2 b^2 \cdot a^3}{3a} \right]
[/mm]
= [mm] \left[ \bruch{2 b \cdot a^2}{3} - \bruch{ 2 b^2 \cdot a^2}{3} \right] [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \bruch{a \cdot b}{2} [/mm] wo ist der (denk-) fehler??
vielen dank & grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Di 26.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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