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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mi 13.09.2006 | | Autor: | wuschel |
| Aufgabe | `Zwei mit der Geschwindigkeit v (km/h) fahrende Autos sollten den Sicherheitsabstand : s=v²/100 + v/3,6 + 6 (in m) einhalten. Dabei ist v²/100 der Bremsweg, v/3,6 der sogenannte Reaktionsweg un 6m der Platzbedarf eines stehenden Autos.
Da ein Auto in 1 Stunde die Strecke von 1000*v m zurücklegt, passieren stündlich 1000*v/s Autos eine Meßstelle. Dieser Quotient heißt Verkehrsdichte.
Bei welcher Geschwindigkeit v ist die Verkehrsdichte am größten? Wie viele Autos passieren dann stündlich die Meßstelle? |
Hi ihr!
Ich habe jetzt ein Problem. Ich weiß, dass man hier normalerweise nichts reinsetzten darf, wenn man keine eigenen Lösungsansätze hat. Ich habe aber leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen soll. Nicht einmal einen Ansatz bekomme ich zustande. Es wäre supernett wenn mir trotzdem jemand helfen könnte.
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 13.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> 'Zwei mit der Geschwindigkeit v (km/h) fahrende Autos
> sollten den Sicherheitsabstand : s=v²/100 + v/3,6 + 6 (in
> m) einhalten. Dabei ist v²/100 der Bremsweg, v/3,6 der
> sogenannte Reaktionsweg un 6m der Platzbedarf eines
> stehenden Autos.
> Da ein Auto in 1 Stunde die Strecke von 1000*v m
> zurücklegt, passieren stündlich 1000*v/s Autos eine
> Meßstelle. Dieser Quotient heißt Verkehrsdichte.
> Bei welcher Geschwindigkeit v ist die Verkehrsdichte am
> größten? Wie viele Autos passieren dann stündlich die
> Meßstelle?
Hallo Lisa:
Die Verkehrsdichte, ich nenne sie mal [mm] \rho, [/mm] berehcnet sich ja wie folgt:
Verkehrsdichte = [mm] \bruch{Geschwindigkeit [v] * 1000}{Sicherheitsabstand [s]}
[/mm]
Also gilt: [mm] \rho(v;s) [/mm] = [mm] \bruch{1000v}{s}.
[/mm]
Jetzt hast du oben in der Aufgabenstellung ja die Formel für den Sicherheitsabstand gegeben, nämlich s(v) = [mm] \bruch{v²}{100} [/mm] + [mm] \bruch{v}{3,6} [/mm] + 6.
Also gilt:
[mm] \rho(v) [/mm] = [mm] \bruch{1000v}{\bruch{v²}{100} + \bruch{v}{3,6} + 6}
[/mm]
Von dieser Funktion sollst du jetzt das Maximum bestimmen.
Also Ableiten usw....
Hilft das weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 13.09.2006 | | Autor: | wuschel |
Hi, Marius!
Vielen Dank für deinen Ansatz, nur habe ich jetzt ein Problem mit der Ableitung.
Um das Maximum zu bestimmen muss man ja die erste Ableitung gleich Null setzten. Aber ich habe ein Problem bei der Ableitung. Wir haben das noch nicht gemacht bei einem solchen großen Bruch.
p(v) = $ [mm] \bruch{1000v}{\bruch{v²}{100} + \bruch{v}{3,6} + 6} [/mm] $
Dann ist ja u= 1000v und u'=1000
v(x) [mm] =\bruch{v²}{100} [/mm] + [mm] \bruch{v}{3,6} [/mm] + 6
v' (x) = wie mach ich denn da die ableitung?
dann müsste man das doch nach der quotientenregel zusammensetzen oder?
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Die Ableitung für den Nenner - also $v'_$ - ist viel einfacher.
[mm] $g(v)=\bruch{1}{100}*v^2 +\bruch{1}{3.6}*v [/mm] + 6$
Kannst Du nun $g'(v)_$ bestimmen durch einfache Anwendung von der  Potenzregel?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 13.09.2006 | | Autor: | wuschel |
Ich habe jetzt die v'(x) gebildet das ist dann ja
v'(x) = [mm] \bruch{2}{100} [/mm] v + [mm] \bruch{1}{3,6}
[/mm]
Dann wendet man doch die Quotientenregel an:
u=1000v u'=1000
v= [mm] \bruch{1}{100} v^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3,6}v [/mm] + 6
v'(x) = [mm] \bruch{2}{100} [/mm] v + [mm] \bruch{1}{3,6}
[/mm]
dann hat man
f'(x) = [mm] \bruch{1000v * [ bruch{1}{100} v^2 + \bruch{1}{3,6}v + 6] - 1000*[v'(x) = \bruch{2}{100} v + \bruch{1}{3,6}]} [/mm] {(1/100 v² +1/36 v +6)² }
Stimmt das?
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mi 13.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Yep, wenn du damit meinst.
[mm] \bruch{1000v \cdot{} [\bruch{1}{100} v^2 + \bruch{1}{3,6}v + 6] - 1000\cdot{}[\bruch{1}{50} v + \bruch{1}{3,6}]}{(1/100 v² +1/36 v +6)²}
[/mm]
Für die Betrachtung der Nullstellen genügt es, die Nullstellen dez Zählers zu betrachten.
Also 1000v [mm] \cdot{} [\bruch{1}{100} v^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3,6}v [/mm] + 6] = 0
Und ein Produkt ist genau dann = 0, wenn ein Faktor = 0 ist.
Also 1000v = 0 oder [mm] \bruch{1}{100} v^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3,6}v [/mm] + 6 = 0, was ja mit der p-q-Formel kein Problem darstellen sollte.
Marius
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