matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraVerkettung g°f
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Verkettung g°f
Verkettung g°f < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verkettung g°f: Korrektur und Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Di 19.02.2008
Autor: Knuddelbunti

Aufgabe
Sei f eine Abb. von A nach B, sei g eine solche von B nach C. Man zeige:

a)
Ist g ° f injektiv, so ist f injektiv.
Ist g °f surjektiv, so ist g surjektiv.

b)
Man gebe eine Menge M und Abbildungen f,g von M in sich an. so dass weder f, noch g bijektiv sind, aber g ° f bijektiv ist.

Für a) habe ich folgenden Beweis:

Beh: g ° f injektiv -> f ist inj.
Bew: F.a. x,y aus A gilt: g(f(x))=g(f(y)) -> x=y
Seien x,y aus A gegeben. Es gelte g(f(x))=g(f(y)).
(mit assoziativgesetz folgt)  (g /circ f)(x)=(g /circ f)(y)
also ist x=y

Beh: g ° f surjektiv -> g ist sur.
Bew: F.a. y aus C gibt es ein x aus A für da gilt: g(f(x))=y
Hieraus folgt bereits, das es zu jedem y ein f(x) aus B gibt mit g(f(x))=y. Also ist g surjektiv.

b) hier habe ich leider keine Idee. Kann mir bitte jemand einen konkreten Tipp geben, wie ich eine solche Verkettung finden kann?

Danke schonmal,

Knuddelbunti

        
Bezug
Verkettung g°f: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Di 19.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

zu a) [ok]

zu b)

Nehme dir die Abbildung f: x [mm] \to [/mm] x² offensichtlich ist sie nicht bijektiv und die Abbildung g: x [mm] \to \wurzel{x} [/mm] g ist auch nicht bijektiv. Was folgt dann für die Verkettung?

[cap] Gruß

Bezug
                
Bezug
Verkettung g°f: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:17 Di 19.02.2008
Autor: Somebody


> Hallo!
>  
> zu a) [ok]
>  
> zu b)
>  
> Nehme dir die Abbildung f: x [mm]\to[/mm] x² offensichtlich ist sie
> nicht bijektiv und die Abbildung g: x [mm]\to \wurzel{x}[/mm] g ist
> auch nicht bijektiv. Was folgt dann für die Verkettung?

Du solltest vielleicht noch die Menge $M$ angeben: dann würdest Du schnell feststellen, dass Dein Beispiel nicht richtig ist.
Falls Du [mm] $M=\IR^{+}_0$ [/mm] wählst, ist $f$ sehr wohl bijektiv. Falls Du aber [mm] $M=\IR$ [/mm] wählst, ist [mm] $g\circ [/mm] f$ nicht bijektiv.

Bezug
        
Bezug
Verkettung g°f: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Di 19.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Sei f eine Abb. von A nach B, sei g eine solche von B nach
> C. Man zeige:
>  
> a)
>  Ist g ° f injektiv, so ist f injektiv.

> Beh: g ° f injektiv -> f ist inj.
> Bew: F.a. x,y aus A gilt: g(f(x))=g(f(y)) -> x=y
>   Seien x,y aus A gegeben. Es gelte g(f(x))=g(f(y)).
>  (mit assoziativgesetz folgt)  (g /circ f)(x)=(g /circ
> f)(y)
>  also ist x=y

Hallo,

ich sehe nicht, wo Du hier die Behauptung gezeigt hast. Du willst doch zeigen, daß f injektiv ist.

Und: was meinst Du hier mit Assoziativgesetz?

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
Verkettung g°f: Zu b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Di 19.02.2008
Autor: Somebody


> b)
> Man gebe eine Menge M und Abbildungen f,g von M in sich an.
> so dass weder f, noch g bijektiv sind, aber g ° f bijektiv
> ist.

> b) hier habe ich leider keine Idee. Kann mir bitte jemand
> einen konkreten Tipp geben, wie ich eine solche Verkettung
> finden kann?

Wie wärs mit [mm] $M=\IZ$ [/mm] und einer Abbildung $f$ die zwar injektiv aber nicht bijektiv ist? $g$ müsste dann nur das Bild von $f$ wieder auf ganz [mm] $\IZ$ [/mm] abbilden (was $g$ mit ausserhalb des Bildes von $f$ liegenden $x$ anstellt, darf beliebig übel - d.h. Bijektivität von $g$ demolierend - sein).

Eine Möglichkeit $f$ zu definieren scheint mir folgende zu sein:

[mm]f:\; x\mapsto \begin{cases}2\cdot |x| &\text{für $x\geq 0$}\\ 2\cdot|x|+1 &\text{für $x<0$}\end{cases}[/mm]


Nun müssen wir $g$ so definieren, dass es zwar selbst nicht bijektiv ist, aber dennoch die Wirkung von $f$ exakt rückgängig macht und somit [mm] $g\circ [/mm] f$ eine Bijektion [mm] $\IZ\rightarrow \IZ$ [/mm] ist.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]