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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 So 02.11.2014 | | Autor: | Verloren |
| Aufgabe | Es seien R [mm] \subset [/mm] X x Y, S [mm] \subset [/mm] Y x Z Relationen und weiter sei S [mm] \circ [/mm] R [mm] \subset [/mm] X x Z definiert als
S [mm] \circ [/mm] R = {(x,y) [mm] \in [/mm] X x Z | [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: (x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y,z) [mm] \in [/mm] S}
Begründen Sie:
Sei X = Y = Z und seien R und S Äquivalenzrelationen mit S [mm] \circ [/mm] R = R [mm] \circ [/mm] S. Dann ist S [mm] \circ [/mm] R auch eine Äquivalenzrelation. |
Guten Abend,
ich sitze nun schon etwas an der obenstehenden Aufgabe und habe bisher 2 der 3 Eigenschaften einer Äquivalenzrelation für die Verkupplung R [mm] \circ [/mm] S nachweisen können.
Symmetrie:
Wenn (x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y,z) [mm] \in [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] (z,y) [mm] \in [/mm] S [mm] \wedge [/mm] (y,x) [mm] \in [/mm] R
Damit gilt auch:
(x,z) [mm] \in [/mm] R [mm] \circ [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] (z,x) [mm] \Rightarrow [/mm] R [mm] \circ [/mm] S
Refelexivität:
Solange gilt dass: [mm] \exists [/mm] y: (x,y) [mm] \in [/mm] R (y,z) [mm] \in [/mm] S
gilt auch: (x,z) [mm] \in [/mm] S [mm] \circ [/mm] R
Transitivität:
Hier habe ich ein paar Probleme.
Ich kenne die Defintion von Transitivität recht gut nur weiß ich nicht, wie ich das für die Verkettung zweier Relationen benutzen soll. Ein Gedanke war, dass Reflexivität ja schon aus der Definition folgen könnte, da ja gilt:
S [mm] \circ [/mm] R = {(x,y) [mm] \in [/mm] X x Z | [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: (x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y,z) [mm] \in [/mm] S}
Das wäre ja schon eine Art Reflexivität, aber ja eig. nur, solange man eine Relation zwischen zwei Mengen betrachtet, bei 3 Mengen sollte das ja denke ich anders sein.
Ich hoffe jemand kann mir helfen :)
Grüße Verloren
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien R [mm]\subset[/mm] X x Y, S [mm]\subset[/mm] Y x Z Relationen und
> weiter sei S [mm]\circ[/mm] R [mm]\subset[/mm] X x Z definiert als
>
> S [mm]\circ[/mm] R = [mm] \{(x,\red{z}) \inX x Z | \exists y \in Y: (x,y) \in R \wedge(y,z) \in S\}
[/mm]
>
> Begründen Sie:
>
> Sei X = Y = Z und seien R und S Äquivalenzrelationen mit S
> [mm]\circ[/mm] R = R [mm]\circ[/mm] S. Dann ist S [mm]\circ[/mm] R auch eine
> Äquivalenzrelation.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zunächst einmal habe ich einen Tippfehler in Deiner Aufgabenstellung korrigiert.
Ich mache Dir die Symmetrie mal vor.
Ich hoffe, Du siehst daran, wie kleinschrittig man vorgehen muß, und wie man für jeden Schritt eine Begründung liefern muß.
> Symmetrie:
Zu zeigen: [mm] (x,z)\in S\circ [/mm] R ==> [mm] (z,x)\in S\circ [/mm] R
Beweis:
Es sei [mm] (x,z)\in S\circ [/mm] R.
Dann gibt es ein [mm] y\in [/mm] Y (=X) mit
[mm] (x,y)\in [/mm] R und [mm] (y,z)\in [/mm] S
Da S und R Äquivalenzrelationen sind, sind sie symmetrisch, und es ist
[mm] (y,x)\in [/mm] R und [mm] (z,y)\in [/mm] S.
Also ist [mm] (z,y)\in R\circ [/mm] S,
und da [mm] R\circ S=S\circ [/mm] R,
ist auch [mm] (z,y)\in S\circ [/mm] R.
Schauen wir jetzt an, was Du getan hast - es ist gar nicht mal so falsch, aber Du verschweigst zu viel:
zunächst mal tust Du Dinge, die Du keinem Menschen verrätst und nicht hinschreibst. Etwa so:
Sei [mm] (x,z)\in S\circ [/mm] R.
Also gibt es ein [mm] y\in [/mm] Y mit
>
> Wenn (x,y) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (y,z) [mm]\in[/mm] S
> [mm]\Rightarrow[/mm] (z,y) [mm]\in[/mm] S [mm]\wedge[/mm] (y,x) [mm]\in[/mm] R
denn R und S sind symmetrisch.
Also ist [mm] (z,x)\in R\circ S=S\circ [/mm] R.
Damit hättest Du es auch.
>
> Damit gilt auch:
>
> (x,z) [mm]\in[/mm] R [mm]\circ[/mm] S [mm]\Rightarrow[/mm] (z,x) [mm]\Rightarrow[/mm] R [mm]\circ[/mm]
> S
Das interessiert keinen Menschen, wenn man die Symmetrie von [mm] S\circ [/mm] R zeigen will...
Tip:
schreibe Dir immer erstmal genau auf, was zu zeigen ist.
>
>
> Refelexivität:
zu zeigen: für alle [mm] x\in [/mm] X gilt [mm] (x,x)\in S\circ [/mm] R.
Beweis:
Sei [mm] x\in [/mm] X.
Weil S und R Äquivalenzrelationen sind, gilt
... und ...
==> [mm] (...)\in S\circ [/mm] R.
>
> Transitivität:
>
> Hier habe ich ein paar Probleme.
>
> Ich kenne die Defintion von Transitivität recht gut
Fein.
Dann schreibe jetzt erstmal mal hin, was für die Transitivität zu zeigen ist - erst danach ist es sinnvoll, irgendwie weiterzudenken.
LG Angela
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