Verkettung von ganzrationalen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die beiden ganzrationalen Funktionen f und g mit
f(x)= [mm] x^{2} [/mm] + 3x - 4 und g(x)= [mm] 3x^{2} [/mm] - 4x.
a) Bilden Sie die Verkettung f ° g.
b) Bilden Sie die Verkettung g ° f.
c) Welchen Grad hat die Verkettung der ganzrationalen Funktion f vom Grad n mit der Funktion g vom Grad m?
f(x) = [mm] a_{n} \* x^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{0}
[/mm]
g(x) = [mm] b_{m} \* x^{m} [/mm] + ... + [mm] b_{0}
[/mm]
Begründen Sie Ihre Antwort!
d) Untersuchen Sie die Frage c) bezüglich der beiden Spezialfälle
m > 1 und n = 0 sowie
m = 1 und n > 1.
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Bei Teilfrage a) hab ich raus: [mm] 9x^{4} [/mm] - [mm] 24x^{3} [/mm] + [mm] 25x^{2} [/mm] - 12x - 4
Bei Teilfrage b) hab ich raus: [mm] 3x^{4} [/mm] + [mm] 18x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] - 60x + 64
Bei Teilfrage c) hab ich:
Die Verkettung h(x) hat hat den Grad l = 4, weil
h(x) = [mm] 3x^{4} [/mm] + [mm] 18x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] - 60x + 64.
Der Grad der Funktion entspricht dem Exponenten der höchsten im Funktionsterm enthaltenen Potenz. Da h den Funktionsterm [mm] x^{4} [/mm] enthält, ist l = 4.
Nun ist die Frage: stimmen meine Antworten soweit, oder muss ich diese Terme in Linearfaktoren zerlegen? Dann würde ja auch ein anderer Grad herauskommen, oder nicht?
Bei d) hab ich dann schon gar keinen Schimmer, wie ich das auslegen soll. Da steh ich irgendwie auf dem Schlauch, mir würde aber bestimmt ein Anhaltspunkt reichen, um aus meiner gedanklichen Sackgasse zu kommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 So 24.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben seien die beiden ganzrationalen Funktionen f und g
> mit
> f(x)= [mm]x^{2}[/mm] + 3x - 4 und g(x)= [mm]3x^{2}[/mm] - 4x.
>
> a) Bilden Sie die Verkettung f ° g.
>
> b) Bilden Sie die Verkettung g ° f.
>
> c) Welchen Grad hat die Verkettung der ganzrationalen
> Funktion f vom Grad n mit der Funktion g vom Grad m?
> f(x) = [mm]a_{n} \* x^{n}[/mm] + ... + [mm]a_{0}[/mm]
> g(x) = [mm]b_{m} \* x^{m}[/mm] + ... + [mm]b_{0}[/mm]
> Begründen Sie Ihre Antwort!
>
> d) Untersuchen Sie die Frage c) bezüglich der beiden
> Spezialfälle
> m > 1 und n = 0 sowie
> m = 1 und n > 1.
>
> Bei Teilfrage a) hab ich raus: [mm]9x^{4}[/mm] - [mm]24x^{3}[/mm] + [mm]25x^{2}[/mm] -
> 12x - 4
Das scheint auf den ersten Blick zu stimmen. Ausgereicht hätte als Antwort
[mm] f(g(x))=(3x^2-4x)^{2}+ 3(3x^2-4x) [/mm] - 4
>
> Bei Teilfrage b) hab ich raus: [mm]3x^{4}[/mm] + [mm]18x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] -
> 60x + 64
Kurz: [mm] g(f(x))=3*(x^2+3x-4)^2-4*(x^2+3x-4)
[/mm]
>
> Bei Teilfrage c) hab ich:
> Die Verkettung h(x) hat hat den Grad l = 4, weil
> h(x) = [mm]3x^{4}[/mm] + [mm]18x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] - 60x + 64.
> Der Grad der Funktion entspricht dem Exponenten der
> höchsten im Funktionsterm enthaltenen Potenz. Da h den
> Funktionsterm [mm]x^{4}[/mm] enthält, ist l = 4.
>
Bei c war nicht nach den konkreten Termen (f und g jeweils vom Grad 2) gefragt, sondern allgemein für "f ist vom Grad n und g von Grad m".
Die Verknüpfung ist dann allgemein vom Grad n*m. Das kannst du begründen, indem du dir die jeweils höchsten Potenzen in der Verknüpfung betrachtest.
Diese Regel kannst du dann zur Antwort von d) verwenden.
Gruß Abakus
> Nun ist die Frage: stimmen meine Antworten soweit, oder
> muss ich diese Terme in Linearfaktoren zerlegen? Dann würde
> ja auch ein anderer Grad herauskommen, oder nicht?
>
> Bei d) hab ich dann schon gar keinen Schimmer, wie ich das
> auslegen soll. Da steh ich irgendwie auf dem Schlauch, mir
> würde aber bestimmt ein Anhaltspunkt reichen, um aus meiner
> gedanklichen Sackgasse zu kommen.
>
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> Bei c war nicht nach den konkreten Termen (f und g jeweils
> vom Grad 2) gefragt, sondern allgemein für "f ist vom Grad
> n und g von Grad m".
> Die Verknüpfung ist dann allgemein vom Grad n*m. Das
> kannst du begründen, indem du dir die jeweils höchsten
> Potenzen in der Verknüpfung betrachtest.
> Diese Regel kannst du dann zur Antwort von d) verwenden.
> Gruß Abakus
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Aber ich muss nochmal nachhaken:
wenn die Verknüpfung allgemein vom Grad [mm] n\*m [/mm] ist, dann wäre aber in meinem konkreten Fall die Antwort ja trotzdem irgendwie richtig, oder? Denn sowohl in g(x), als auch in f(x) ist der Grad 2. Also wäre [mm] n\*m [/mm] = 2 [mm] \*2 [/mm] und würde dennoch die 4 ergeben.
Wenn ich diese Regel auf die Frage d) anwenden soll, dann wäre in dem ersten Fall der Grad 0, weil ja n=0 ist. (oder?)
Im zweiten fall wäre dann der Grad mindestens 2, wenn ich das richtig verstehe...
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> > Bei c war nicht nach den konkreten Termen (f und g jeweils
> > vom Grad 2) gefragt, sondern allgemein für "f ist vom Grad
> > n und g von Grad m".
> > Die Verknüpfung ist dann allgemein vom Grad n*m. Das
> > kannst du begründen, indem du dir die jeweils höchsten
> > Potenzen in der Verknüpfung betrachtest.
> > Diese Regel kannst du dann zur Antwort von d)
> verwenden.
> > Gruß Abakus
>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort. Aber ich muss nochmal
> nachhaken:
>
> wenn die Verknüpfung allgemein vom Grad [mm]n\*m[/mm] ist, dann wäre
> aber in meinem konkreten Fall die Antwort ja trotzdem
> irgendwie richtig, oder? Denn sowohl in g(x), als auch in
> f(x) ist der Grad 2. Also wäre [mm]n\*m[/mm] = 2 [mm]\*2[/mm] und würde
> dennoch die 4 ergeben.
Hallo,
die Verkettung von der oben angegebenen Funktion f mit g und umgekehrt ergeben beide ein Polynom vom Grad 4, da hast Du recht.
Allerdings war die Frage nicht konkret auf diese beiden Funktionen bezogen, sondern so gemeint, wie abakus es Dir gesagt hat.
>
> Wenn ich diese Regel auf die Frage d) anwenden soll, dann
> wäre in dem ersten Fall der Grad 0, weil ja n=0 ist.
> (oder?)
> Im zweiten fall wäre dann der Grad mindestens 2, wenn ich
> das richtig verstehe...
Ja.
Dieses "Untersuche Sie" würde ich so verstehen, daß Du das vorrechnen sollst.
Setze doch mal eine ganzrationale Funktion von Grad 0 in eine vom Grad 2 ein und umgekehrt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 So 24.08.2008 | | Autor: | Leguan1983 |
Ok, super.
Vielen vielen Dank für die schnelle Hilfe, damit komme ich ein riesiges Stück weiter.
LG Mandy
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