matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMengenlehreVerknüpfung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Mengenlehre" - Verknüpfung
Verknüpfung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verknüpfung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mi 20.06.2007
Autor: annklo

Aufgabe
Gegeben sei in [mm] \IQ \times \IQ [/mm] die Verknüpfung [mm] \* [/mm] mit
(a,b) [mm] \* [/mm] (c,d) := (a * c , a * d+b)
Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften
a) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IQ: a\*b [/mm] = [mm] b\*a [/mm]
b) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IQ: (a\*b)\*c [/mm] = [mm] a\*(b\*c) [/mm]
c) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in \IQ \forall [/mm] a [mm] \in \IQ: e\*a [/mm] = a
d) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ [/mm] \ {1}  [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in \IQ: [/mm] a' [mm] \* [/mm] a = e
auf die Verküpfung [mm] \* [/mm] zutreffen (nicht zutreffen).

Hallo,
also ich weiß schonmal das eine nicht zutrifft - der Rest trifft zu,teils aber nur unter Einschränkungen.
Aber wie ich das jetzt beweisen soll, weiß ich nicht so genau.
Wo zB nehme ich das c für die Verknüfung her, wenn ich prüfe, ob a) zutrifft oder nicht?
Danke für eure Bemühungen  und Hilfe schonmal iom Voraus

        
Bezug
Verknüpfung: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mi 20.06.2007
Autor: dormant

Hi!

Das ist eine seltsame Aufgabenstellung. Ich würde sie so interpretieren:

a) zeige, dass für alle rationallen a und b gilt: (a,0)*(b,0)=(b,0)*(a,0), wobei * die angegebene Verknüpfung ist.

Und bei b)-d) analog vorgehen - die Zweite Koordinate als 0 annehmen.

Gruß,
dormant

Bezug
                
Bezug
Verknüpfung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Do 21.06.2007
Autor: annklo

Ich hab jetzt:
a) (a,0) [mm] \* [/mm] (b,0) = (b,0) [mm] \* [/mm] (a,0)
[mm] \gdw [/mm] (ab,0) = (ab,0)

b) ((a,0) [mm] \* [/mm] (b,0)) [mm] \* [/mm] (c,0) = (a,0) [mm] \* [/mm] ((b,0) [mm] \* [/mm] (c,0))
[mm] \gdw [/mm] (abc,0) = (abc,0)

c) (e,0) [mm] \* [/mm] (a,0) = (a,0)
[mm] \gdw [/mm] (ea,0) = (a,0)     [wenn e [mm] \in \IN_{1} [/mm] ] [mm] \gdw [/mm] (a,0)=(a,0)

d) (a',0) [mm] \* [/mm] (a,0) =e
[mm] \gdw [/mm] (a'a,0)= (e,0)    geht nicht

ist das so richtig?

Bezug
                        
Bezug
Verknüpfung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Do 21.06.2007
Autor: leduart

Hallo
bevor ich die Aufgabe so abgäbe, würd ich nochmal rückfragen, ob nicht doch a,b aus [mm] \IQ\ [/mm] times [mm] \IQ [/mm] sein sollte:
auch ich denke, wie angela, dass de Aufgabe sonst sinnlos ist.
übrigens d) ist doch erfüllt, da versteh ich deine Schlussfolgerung nicht.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Verknüpfung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Fr 22.06.2007
Autor: annklo

Aufgabe
2.1. Sei A eine nichtleere Menge. Eine Abbildung [mm] \*: [/mm] A [mm] \times [/mm] A [mm] \to [/mm] A heißt (gelegentlich) Verknüpfung in A.
Gegeben sei in [mm] \IQ [/mm] die Verknüpfung [mm] \* [/mm] mit
a [mm] \* [/mm] b := a + b - a * b
(a * b ist das übliche Produnkt von rationalen Zahlen a und b)
Zeigen Sie:
a) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IQ: [/mm] a [mm] \* [/mm] b = b [mm] \* [/mm] a
b) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IQ: [/mm] (a [mm] \* [/mm] b) [mm] \* [/mm] c = a [mm] \* [/mm] (b [mm] \* [/mm] c)
c) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in \IQ \forall [/mm] a [mm] \in \IQ: [/mm] e [mm] \* [/mm] a = a
d) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ [/mm] \ {1}   [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in \IQ [/mm] : a' [mm] \* [/mm] a = e
(Kurz: [mm] \* [/mm] ist eine kommutative (a), assoziative (b) Verknüpfung mit (c) neutralem Element e. Ferne (d): Jede von 1 verschiedene rationale Zahl a besitzt ein inverses Element a'.)

2.2. Gegeben sei in [mm] \IQ \times \IQ [/mm] die Verknüpfung [mm] \* [/mm] mit
(a,b) [mm] \* [/mm] (c,d) := (a * c , a *d + b)
Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften a), b), c), d) aus 2.1. auf die Verknüpfung [mm] \* [/mm] zutreffen ( nicht zutreffen).

So lautet die Aufgabe haargenau... Ist das so was anderes? Tut mir Leid, falls ich eure Zeit mit einer falschen Aufgabe vergeudet haben sollte!  Ich kann da immer noch nicht mehr mit anfangen...
Danke für die Unterstützung

Bezug
                                        
Bezug
Verknüpfung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Fr 22.06.2007
Autor: leduart

Hallo
Ja die richtigen Aufgaben sind ganz was anderes.
statt der "normalen" Multiplikation, der rationalen Zahlen wird eine neue "Multiplikation" versucht.
besser man nimmt nicht dasselbe Zeichen, sondern schreibtfür die Normale Mult. * für die neue [mm] \otimes [/mm]
dann ist also [mm] a\otimesb=a+b-ab [/mm]
jetzt für a) [mm] a\otimesb [/mm]  danach [mm] b\otimesa [/mm] ausrechnen, nachsehen ob es dasselbe ist.
entsprechend mit [mm] (a\otimesb)\otimesc [/mm] und [mm] a\otimes(b\otimesc) [/mm]
usw.
dasselbe musst du nun in 2.2 mit Zahlenpaaren machen,
für b) musst du noch eins dazuerfinden , also (e,f)
einfacher wär es die Paare (a1,a2) (b1,b2) usw zu nennen.
(sowas ist immer erlaubt, und man muss nicht durchs ganze Alphabet, und weiss immer, wlches grad der hintere und vordere im Paar ist.
Probiers jetzt mal, wenn du unsicher bist schick es uns.
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Verknüpfung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Fr 22.06.2007
Autor: annklo

ich dachte das mit dem zeichen wäre klar... mein pc oder das programm hier wandelt nur das * nicht um in den mittelpunkt - aber das neue zeichen wird mit schrägstrich* geschrieben und ist mittig [mm] \* [/mm]  .
2.1 muss ich gar nicht machen- nur 2.2 ... aber was genau da jetzt von mir verlangt wird weiß ich nicht-immer noch nicht:-( war das mit dem einsetzten der 0 in den Hinterenteil falsch? was wird denn aus a [mm] \* [/mm] b = b [mm] \* [/mm] a in der Verknüpfung (a,b) [mm] \* [/mm] (c,d)? hab ja gar kein c und d?  

Bezug
                                                        
Bezug
Verknüpfung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Fr 22.06.2007
Autor: dormant

Hi!

Jetzt sieht die Sache etwas klarer aus.

Ich bezeichne die normale Multiplikation mit ab, die neue Verknüpfung mit *.

Laut Aufgabenstellung ist (a,b)*(c,d):=(ac, ad+b).

a) (a,b)*(c,d)=(c,d)*(a,b)? Das ist das gleiche wie (ac, ad+b)=(ca, cb+d)=(ac, bc+d)? Also gilt Kommutativität für * nicht.

b) Hier ist das Alphabet bald am Versagen, aber gemeint ist ((a,b)*(c,d))*(e,f)=(a,b)*((c,d)*(e,f))?

c) und d) sind ein bisschen kniffliger. Bei c) musst du die Existenz eines Neutralen beweisen. Gibt es ein Element (e,f), so dass für alle [mm] (a,b)\in\IQ\times\IQ [/mm] gilt: (e,f)*(a,b)=(a,b). Dazu löst du das harmlose LGS

ea=a
eb+f=b

mit e und f als Unbekannte.

Bei d) geht es um das Inverse. Wie in c) vorgehen.

Gruß,
dormant

Bezug
                                                                
Bezug
Verknüpfung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:30 Fr 22.06.2007
Autor: annklo

danke,ich versuch das mal- das prinzip hab ich jetzt aber verstanden,wenn ich noch fragen hab oder es nicht hinbekomme,meld ich mich nochmal


Bezug
                                                                
Bezug
Verknüpfung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Fr 22.06.2007
Autor: annklo

Also a) und b) hab ich verstanden- bei c) hab ich raus (e,f)=(1,0), dann gilt (e,f) [mm] \* [/mm] (a,b) = (a,b) ,wie schriebe ich das auf?
Bei d) hab eich noch Probleme ich hab folgendermaßen angefangen:
(a',b') [mm] \* [/mm] (a,b) = (e,f)
(a'a,a'b+b')=(e,f)
also a'a=e
und a'b+b'=f

war das so richtig? was mach ich jetzt?

Bezug
                                                                        
Bezug
Verknüpfung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Fr 22.06.2007
Autor: dormant

Hi!

> Also a) und b) hab ich verstanden- bei c) hab ich raus
> (e,f)=(1,0), dann gilt (e,f) [mm]\*[/mm] (a,b) = (a,b) ,wie schriebe
> ich das auf?

Als Lösung des LGS, siehe Post von vorhin.

> Bei d) hab eich noch Probleme ich hab folgendermaßen
> angefangen:
>  (a',b') [mm]\*[/mm] (a,b) = (e,f)
>  (a'a,a'b+b')=(e,f)
>  also a'a=e
>  und a'b+b'=f

Ja, richtig. Jetzt setzst du für e 1 und für f 0 ein löst nach a' und b' auf.

Gruß,
dormant

Bezug
                                                                                
Bezug
Verknüpfung: Rückfrage Inverses
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 So 24.06.2007
Autor: Tvenna

Hallo!
Ich habe bisher keine Probleme mit der Aufgabe gehabt, aber jeweils das inverse Element macht mir zu schaffen.
1) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ \setminus \{1\} \exists [/mm] a' [mm] \in \IQ [/mm] : a' [mm] \* [/mm] a = e
    Bei dieser Aufgabe komme ich leider einfach nicht weiter...
[mm] 2)\forall [/mm] (a,b)  [mm] \exists [/mm] (a',b') [mm] \in \IQ \times \IQ [/mm] : (a',b') [mm] \* [/mm] (a,b) = (e,f)
    da ist ja nach Vor. e= a'a und f= a'b+b'
    in der Aufgabe zuvor habe ich ausgerechnet dass e=1 und f=0
    Ist dann nun a'=1/a und b' = 0 ?
Habt ihr vielleicht einen Tip?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Verknüpfung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Mo 25.06.2007
Autor: angela.h.b.


>  1) [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IQ \setminus \{1\} \exists[/mm] a' [mm]\in \IQ[/mm] :
> a' [mm]\*[/mm] a = e

Hallo,
Du hast ja bereits e=1 ausgerechnet.

Wenn es solch ein inverses Element a' gibt, dann ist also
[mm] 1=a'\odot [/mm] a=a'+a-a'a

Nun löses das nach a'auf.
==>a'=...

Wenn es ein Inverses gibt, sieht es so aus wie berechnet. Jetzt mußt Du noch testen, ob es tut, was es soll.

Ist wirklich [mm] ...\odot [/mm] a=1?


>  [mm]2)\forall[/mm] (a,b)  [mm]\exists[/mm] (a',b') [mm]\in \IQ \times \IQ[/mm] :
> (a',b') [mm]\*[/mm] (a,b) = (e,f)

Ähnlich wie oben mußt Du herausfinden, für welche a',b' gilt:

(1,0)=(a'a,a'b+b').

Dies kann nur gelten, wenn 1=a'a und 0=a'b+b'.

Also, wie Du auch schreibst, für [mm] a'=\bruch{1}{a} [/mm]   , [mm] (a\not=0) [/mm] und b'folglich
[mm] b'=\bruch{-b}{a}. [/mm]

Nun prüfe, ob [mm] (a',b')*(a,b)=(\bruch{1}{a},\bruch{-b}{a})*(a,b)=(1,0). [/mm]

Gruß v. Angela


>      da ist ja nach Vor. e= a'a und f= a'b+b'
>      in der Aufgabe zuvor habe ich ausgerechnet dass e=1
> und f=0
>      Ist dann nun a'=1/a und b' = 0 ?
>  Habt ihr vielleicht einen Tip?


Bezug
        
Bezug
Verknüpfung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Do 21.06.2007
Autor: angela.h.b.


> Gegeben sei in [mm]\IQ \times \IQ[/mm] die Verknüpfung [mm]\*[/mm] mit
>  (a,b) [mm]\*[/mm] (c,d) := (a * c , a * d+b)
>  Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften
>  a) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IQ: a\*b[/mm] = [mm]b\*a[/mm]
>  b) [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in \IQ: (a\*b)\*c[/mm] = [mm]a\*(b\*c)[/mm]
>  c) [mm]\exists[/mm] e [mm]\in \IQ \forall[/mm] a [mm]\in \IQ: e\*a[/mm] = a
>  d) [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IQ[/mm] \ {1}  [mm]\exists[/mm] a' [mm]\in \IQ:[/mm] a' [mm]\*[/mm] a =
> e
> auf die Verküpfung [mm]\*[/mm] zutreffen (nicht zutreffen).


Hallo,

ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, daß die Aufgabe so gestellt ist.

Steht da nicht eher (oder soll stehen!) z.B. bei a)

a) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IQ x \IQ : a\*b[/mm] = [mm]b\*a[/mm]

Nur so hätte die Aufgabe in meinen Augen Sinn.

Denn daß die normale Multiplikation in [mm] \IQ [/mm] kommutativ ist, dürfte ja bekannt sein.

Auch die Passage

> auf die Verküpfung [mm]\*[/mm] zutreffen (nicht zutreffen).

deutet daraufhin, daß man mit der neuen Verknüpfung, welche für Zahlenpaare definiert ist, etwas tun soll.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Verknüpfung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 Do 21.06.2007
Autor: annklo

Da steht nur [mm] \IQ [/mm] nicht [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ. [/mm]
Hat niemand eine Idee dazu?
Danke schonmal für eure Mühe

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]